2次方程式 $2x^2 + 4x + 1 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、$\alpha - 1$, $\beta - 1$ を解にもち、$x^2$ の係数が1である2次方程式を求める。

1. 問題の内容

2次方程式 $2x^2 + 4x + 1 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、$\alpha - 1$, $\beta - 1$ を解にもち、$x^2$ の係数が1である2次方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1) 解と係数の関係より、$\alpha + \beta$ と $\alpha \beta$ を求める。

与えられた2次方程式 $2x^2 + 4x + 1 = 0$ より、

$\alpha + \beta = -\frac{4}{2} = -2$

$\alpha \beta = \frac{1}{2}$

(2) 新しい2次方程式の解の和と積を求める。

$\alpha - 1$ と $\beta - 1$ を解とする2次方程式を求めるので、まずは解の和と積を計算する。

$(\alpha - 1) + (\beta - 1) = \alpha + \beta - 2 = -2 - 2 = -4$

$(\alpha - 1)(\beta - 1) = \alpha \beta - (\alpha + \beta) + 1 = \frac{1}{2} - (-2) + 1 = \frac{1}{2} + 2 + 1 = \frac{7}{2}$

(3) 解の和と積から2次方程式を求める。

求める2次方程式は、$x^2$ の係数が1なので、

$x^2 - (解の和)x + (解の積) = 0$ となる。

したがって、求める2次方程式は、

$x^2 - (-4)x + \frac{7}{2} = 0$

$x^2 + 4x + \frac{7}{2} = 0$

3. 最終的な答え

$x^2 + 4x + \frac{7}{2} = 0$