ベクトル $\vec{a} = (4, 2)$, $\vec{b} = (3, -1)$, $\vec{x} = (p, q)$ が与えられている。$\vec{x}$ と $\vec{b}-\vec{a}$ が平行であり、$\vec{x}-\vec{b}$ と $\vec{a}$ が垂直であるとき、$p$ と $q$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (4, 2)$, $\vec{b} = (3, -1)$, $\vec{x} = (p, q)$ が与えられている。$\vec{x}$ と $\vec{b}-\vec{a}$ が平行であり、$\vec{x}-\vec{b}$ と $\vec{a}$ が垂直であるとき、$p$ と $q$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{b}-\vec{a}$ を計算する。

$$\vec{b} - \vec{a} = (3, -1) - (4, 2) = (3-4, -1-2) = (-1, -3)$$

$\vec{x}$ と $\vec{b}-\vec{a}$ が平行なので、ある実数 $k$ を用いて、

$$\vec{x} = k(\vec{b}-\vec{a}) = k(-1, -3) = (-k, -3k)$$

と表せる。したがって、

$$p = -k$$

$$q = -3k$$

次に、$\vec{x}-\vec{b}$ を計算する。

$$\vec{x} - \vec{b} = (p, q) - (3, -1) = (p-3, q+1)$$

$\vec{x}-\vec{b}$ と $\vec{a}$ が垂直なので、内積は 0 になる。

$$(\vec{x}-\vec{b}) \cdot \vec{a} = 0$$

$$(p-3, q+1) \cdot (4, 2) = 0$$

$$4(p-3) + 2(q+1) = 0$$

$$4p - 12 + 2q + 2 = 0$$

$$4p + 2q - 10 = 0$$

$$2p + q - 5 = 0$$

これに $p = -k$ と $q = -3k$ を代入する。

$$2(-k) + (-3k) - 5 = 0$$

$$-2k - 3k - 5 = 0$$

$$-5k = 5$$

$$k = -1$$

したがって、

$$p = -k = -(-1) = 1$$

$$q = -3k = -3(-1) = 3$$

3. 最終的な答え

$p = 1$, $q = 3$