$a > 0$ とする。関数 $f(x) = ax^2 - 2ax + b$ ($0 \le x \le 3$) の最大値が $9$、最小値が $1$ のとき、定数 $a, b$ の値を求める。

1. 問題の内容

$a > 0$ とする。関数 $f(x) = ax^2 - 2ax + b$ ($0 \le x \le 3$) の最大値が $9$、最小値が $1$ のとき、定数 $a, b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を平方完成する。

$f(x) = a(x^2 - 2x) + b = a(x^2 - 2x + 1 - 1) + b = a(x-1)^2 - a + b$

軸は $x = 1$ であり、$a > 0$ より、下に凸な放物線である。定義域は $0 \le x \le 3$ である。

軸 $x=1$ は定義域に含まれる。

最小値は $f(1) = -a + b = 1$ となる。

最大値は、$x=0$ または $x=3$ のいずれかでとる。

$f(0) = b$

$f(3) = 9a - 6a + b = 3a + b$

したがって、$f(3) > f(0)$ なので、$x=3$ で最大値をとる。

よって、$3a + b = 9$ となる。

$-a + b = 1$ と $3a + b = 9$ を連立して解く。

2つの式を引き算すると、

$(3a + b) - (-a + b) = 9 - 1$

$4a = 8$

$a = 2$

$-a + b = 1$ に $a=2$ を代入すると、

$-2 + b = 1$

$b = 3$

$a = 2 > 0$ であるので、これは条件を満たす。

3. 最終的な答え

$a = 2, b = 3$