$a$ は正の定数とします。定義域 $0 \le x \le a$ における関数 $f(x) = x^2 - 4x + 5$ について、以下の問題を解きます。 (1) 最大値を求めよ。 (2) 最小値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ は正の定数とします。定義域 $0 \le x \le a$ における関数 $f(x) = x^2 - 4x + 5$ について、以下の問題を解きます。

(1) 最大値を求めよ。

(2) 最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、関数 $f(x)$ を平方完成します。

$f(x) = x^2 - 4x + 5 = (x-2)^2 - 4 + 5 = (x-2)^2 + 1$

この関数は、頂点が $(2, 1)$ の下に凸な放物線です。

(1) 最大値を求める。

場合分けをして考えます。

i) $0 < a < 2$ のとき

定義域 $0 \le x \le a$ において、$f(x)$ は単調減少なので、$x=0$ で最大値をとります。

最大値は $f(0) = 0^2 - 4 \cdot 0 + 5 = 5$

ii) $a = 2$ のとき

定義域 $0 \le x \le 2$ において、$x=0$ で最大値をとります。

最大値は $f(0) = 5$

iii) $2 < a < 4$ のとき

定義域 $0 \le x \le a$ において、$x=0$ で最大値をとります。

最大値は $f(0) = 5$

iv) $a = 4$ のとき

$f(0) = 5$, $f(4) = 4^2 - 4 \cdot 4 + 5 = 5$ なので、$x=0$ または $x=4$ で最大値をとります。

最大値は $f(0) = f(4) = 5$

v) $a > 4$ のとき

定義域 $0 \le x \le a$ において、$x=a$ で最大値をとります。

最大値は $f(a) = a^2 - 4a + 5$

(2) 最小値を求める。

場合分けをして考えます。

i) $0 < a \le 2$ のとき

定義域 $0 \le x \le a$ において、頂点 $x=2$ が範囲に含まれないため、$x=a$ で最小値をとります。

最小値は $f(a) = a^2 - 4a + 5$

ii) $a > 2$ のとき

定義域 $0 \le x \le a$ において、頂点 $x=2$ が範囲に含まれるため、$x=2$ で最小値をとります。

最小値は $f(2) = 1$

3. 最終的な答え

(1) 最大値

$0 < a \le 4$ のとき、最大値は $5$

$a > 4$ のとき、最大値は $a^2 - 4a + 5$

(2) 最小値

$0 < a \le 2$ のとき、最小値は $a^2 - 4a + 5$

$a > 2$ のとき、最小値は $1$