与えられた分数 $\frac{1}{3 + \sqrt{3} + \sqrt{6}}$ の分母を有理化する。

1. 問題の内容

与えられた分数 $\frac{1}{3 + \sqrt{3} + \sqrt{6}}$ の分母を有理化する。

2. 解き方の手順

まず、分母を $(3 + \sqrt{3}) + \sqrt{6}$ と見て、分子と分母に $(3 + \sqrt{3}) - \sqrt{6}$ をかけます。

\begin{align*}

\frac{1}{3 + \sqrt{3} + \sqrt{6}} &= \frac{1}{(3 + \sqrt{3}) + \sqrt{6}} \\

&= \frac{(3 + \sqrt{3}) - \sqrt{6}}{((3 + \sqrt{3}) + \sqrt{6})((3 + \sqrt{3}) - \sqrt{6})} \\

&= \frac{3 + \sqrt{3} - \sqrt{6}}{(3 + \sqrt{3})^2 - (\sqrt{6})^2}

\end{align*}

次に、分母を展開します。

\begin{align*}

(3 + \sqrt{3})^2 - (\sqrt{6})^2 &= 9 + 6\sqrt{3} + 3 - 6 \\

&= 6 + 6\sqrt{3} \\

&= 6(1 + \sqrt{3})

\end{align*}

したがって、

\begin{align*}

\frac{3 + \sqrt{3} - \sqrt{6}}{6(1 + \sqrt{3})} &= \frac{(3 + \sqrt{3} - \sqrt{6})(1 - \sqrt{3})}{6(1 + \sqrt{3})(1 - \sqrt{3})} \\

&= \frac{3 - 3\sqrt{3} + \sqrt{3} - 3 - \sqrt{6} + \sqrt{18}}{6(1 - 3)} \\

&= \frac{-2\sqrt{3} - \sqrt{6} + 3\sqrt{2}}{6(-2)} \\

&= \frac{-2\sqrt{3} - \sqrt{6} + 3\sqrt{2}}{-12} \\

&= \frac{2\sqrt{3} + \sqrt{6} - 3\sqrt{2}}{12}

\end{align*}

3. 最終的な答え

$\frac{2\sqrt{3} + \sqrt{6} - 3\sqrt{2}}{12}$