動点Pが三角形ABCの頂点をA, B, Cの順に移動する。サイコロを投げて、偶数の目が出たらその目の数だけ進み、奇数の目が出たら1つ進む。この試行を2回繰り返したとき、点Aを出発した動点Pが最終的に点Bにいる確率を求める。

1. 問題の内容

動点Pが三角形ABCの頂点をA, B, Cの順に移動する。サイコロを投げて、偶数の目が出たらその目の数だけ進み、奇数の目が出たら1つ進む。この試行を2回繰り返したとき、点Aを出発した動点Pが最終的に点Bにいる確率を求める。

2. 解き方の手順

サイコロを投げて偶数の目が出る確率は $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ であり、奇数の目が出る確率も $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ である。

2回の試行で点Aから点Bに移動するためには、合計で1つ進むか、4つ進むか、7つ進む必要がある。ただし、最大で6進むことしかできないので、1つ進むか4つ進む場合を考える。

(i) 合計で1つ進む場合:

2回とも奇数の目が出ればよい。この確率は、

$$\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$$

(ii) 合計で4つ進む場合:

1回目に偶数が出て、2回目に進む場所によって場合分けをする。

* 1回目に2が出て、2回目に2が出る。確率: $\frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$。このときA→C→Bとなる。

* 1回目に4が出て、2回目に奇数が出る。確率: $\frac{1}{6} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{12}$。このときA→A→Bとなる。

* 1回目に6が出て、2回目に-2でなければならないが、進む向きは決まっているので、これはあり得ない。

次に、1回目に奇数が出て、2回目に進む場所を考える。

* 1回目に奇数が出て(A→B)、2回目に3つ進む必要がある。これはあり得ない。なぜなら、サイコロを1回投げて3つ進むことはないからである。

したがって、合計で4つ進む確率は

$$\frac{1}{36} + \frac{1}{12} = \frac{1}{36} + \frac{3}{36} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$$

したがって、点Aから点Bに移動する確率は、上記(i)と(ii)の確率の合計である。

$$\frac{1}{4} + \frac{1}{9} = \frac{9}{36} + \frac{4}{36} = \frac{13}{36}$$

3. 最終的な答え

$\frac{13}{36}$