一辺の長さが1の正方形ABCDがあり、点PはAから出発する。硬貨を投げるたびに、表が出たらPは2だけ進み、裏が出たら1だけ進む。硬貨の表と裏の出る確率は等しい。 (1) 硬貨を5回投げたとき、PがAにいる確率を求める。 (2) 硬貨を10回投げたとき、PがDにいる確率を求める。

## 解答

1. 問題の内容

一辺の長さが1の正方形ABCDがあり、点PはAから出発する。硬貨を投げるたびに、表が出たらPは2だけ進み、裏が出たら1だけ進む。硬貨の表と裏の出る確率は等しい。

(1) 硬貨を5回投げたとき、PがAにいる確率を求める。

(2) 硬貨を10回投げたとき、PがDにいる確率を求める。

2. 解き方の手順

(1) 5回投げてAに戻るには、合計で4の倍数進む必要がある。表が出た回数を$x$、裏が出た回数を$y$とすると、$x+y = 5$ かつ $2x + y = 4k$（kは整数）を満たす必要がある。

このとき、$2x+y = x + (x+y) = x+5 = 4k$。よって、$x = 4k - 5$となる。

$x$は0以上5以下の整数なので、$k=1$または$k=2$の場合を考える。

- $k=1$のとき、$x = 4(1)-5 = -1$となり、これは不適。

- $k=2$のとき、$x = 4(2)-5 = 3$となり、$y = 5 - x = 5 - 3 = 2$。

つまり、表が3回、裏が2回出ればよい。このときの確率は、

$\binom{5}{3} (\frac{1}{2})^3 (\frac{1}{2})^2 = \frac{5!}{3!2!} (\frac{1}{2})^5 = \frac{5 \times 4}{2} \times \frac{1}{32} = 10 \times \frac{1}{32} = \frac{10}{32} = \frac{5}{16}$

(2) 10回投げてDにいるには、合計で $4n + 3$ （nは整数）進む必要がある。表が出た回数を$x$、裏が出た回数を$y$とすると、$x+y = 10$ かつ $2x + y = 4n + 3$ を満たす必要がある。

$2x + y = x + (x+y) = x + 10 = 4n + 3$。よって、$x = 4n - 7$。

$x$は0以上10以下の整数なので、$n=2, 3, 4$の場合を考える。

- $n=2$のとき、$x = 4(2)-7 = 1$となり、$y = 10 - x = 10 - 1 = 9$。

- $n=3$のとき、$x = 4(3)-7 = 5$となり、$y = 10 - x = 10 - 5 = 5$。

- $n=4$のとき、$x = 4(4)-7 = 9$となり、$y = 10 - x = 10 - 9 = 1$。

それぞれの確率を計算する。

- 表1回、裏9回の確率は、$\binom{10}{1} (\frac{1}{2})^1 (\frac{1}{2})^9 = 10 \times \frac{1}{2^{10}} = \frac{10}{1024}$

- 表5回、裏5回の確率は、$\binom{10}{5} (\frac{1}{2})^5 (\frac{1}{2})^5 = \frac{10!}{5!5!} (\frac{1}{2})^{10} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} \times \frac{1}{1024} = 252 \times \frac{1}{1024} = \frac{252}{1024}$

- 表9回、裏1回の確率は、$\binom{10}{9} (\frac{1}{2})^9 (\frac{1}{2})^1 = 10 \times \frac{1}{2^{10}} = \frac{10}{1024}$

したがって、求める確率は、$\frac{10}{1024} + \frac{252}{1024} + \frac{10}{1024} = \frac{272}{1024} = \frac{136}{512} = \frac{68}{256} = \frac{34}{128} = \frac{17}{64}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{5}{16}$

(2) $\frac{17}{64}$