大きさが互いに異なる3つのサイコロを同時に投げます。 (1) 3つのサイコロの出た目の積が2の倍数となる場合の数を求めます。 (2) 3つのサイコロの出た目の積が3の倍数となる場合の数を求めます。 (3) 3つのサイコロの出た目の積が6の倍数となる場合の数を求めます。

1. 問題の内容

大きさが互いに異なる3つのサイコロを同時に投げます。

(1) 3つのサイコロの出た目の積が2の倍数となる場合の数を求めます。

(2) 3つのサイコロの出た目の積が3の倍数となる場合の数を求めます。

(3) 3つのサイコロの出た目の積が6の倍数となる場合の数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 3つのサイコロの出た目の積が2の倍数となるのは、少なくとも1つのサイコロの目が偶数である場合です。

すべての目の出方の総数は $6 \times 6 \times 6 = 216$ 通りです。

すべての目が奇数である場合(つまり、奇数$\times$奇数$\times$奇数)は、$3 \times 3 \times 3 = 27$ 通りです。

したがって、少なくとも1つの目が偶数である場合は、$216 - 27 = 189$ 通りとなります。

(2) 3つのサイコロの出た目の積が3の倍数となるのは、少なくとも1つのサイコロの目が3の倍数(3または6)である場合です。

すべての目の出方の総数は $6 \times 6 \times 6 = 216$ 通りです。

3の倍数でない目(1, 2, 4, 5)が出る場合は、$4 \times 4 \times 4 = 64$ 通りです。

したがって、少なくとも1つの目が3の倍数である場合は、$216 - 64 = 152$ 通りとなります。

(3) 3つのサイコロの出た目の積が6の倍数となるのは、2の倍数かつ3の倍数となる場合です。

これは、すべての目の出方の総数から、2の倍数でない場合と3の倍数でない場合を引くことで求めることができますが、2の倍数でなくかつ3の倍数でない場合を二重に引いているので、それを足し戻す必要があります。

2の倍数でない場合は、奇数が出るときなので、1, 3, 5の3通り。

3の倍数でない場合は、1, 2, 4, 5の4通り。

2の倍数でなく、かつ3の倍数でない場合は、1, 5の2通り。

なので、

$216 - (3 \times 3 \times 3) - (4 \times 4 \times 4) + (2 \times 2 \times 2) = 216 - 27 - 64 + 8 = 133$ 通りとなります。

あるいは、

(1)より、2の倍数である出方は189通り。

(2)より、3の倍数である出方は152通り。

2の倍数かつ3の倍数でない出方は奇数で3の倍数でないもの(1,5)の組み合わせなので$2\times2\times2=8$通り

3の倍数かつ2の倍数でない出方は奇数で3の倍数(3)の組み合わせなので$1\times1\times1=1$通りではないので、誤りです。

2の倍数でないかつ3の倍数でない出方は、$2\times2\times2=8$通り。

2の倍数かつ3の倍数である出方は、$216-奇数または3の倍数でない出方$

$216-(3*3*3+4*4*4-2*2*2) = 216-27-64+8 = 133$

3. 最終的な答え

(1) 189通り

(2) 152通り

(3) 133通り