A組の生徒が10人、B組の生徒が5人いる。この15人の中から6人の委員を選ぶとき、以下の条件を満たす選び方は何通りあるか。 (1) A組から4人、B組から2人を選ぶ。 (2) 少なくとも1人はB組から選ぶ。

1. 問題の内容

A組の生徒が10人、B組の生徒が5人いる。この15人の中から6人の委員を選ぶとき、以下の条件を満たす選び方は何通りあるか。

(1) A組から4人、B組から2人を選ぶ。

(2) 少なくとも1人はB組から選ぶ。

2. 解き方の手順

(1) A組から4人、B組から2人を選ぶ場合

A組から4人を選ぶ組み合わせは、$_{10}C_4$通り。

B組から2人を選ぶ組み合わせは、$_{5}C_2$通り。

よって、求める組み合わせの数は、

$_{10}C_4 \times _{5}C_2$となる。

$_{10}C_4 = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210$

$_{5}C_2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

したがって、組み合わせの数は、

$210 \times 10 = 2100$ 通り

(2) 少なくとも1人はB組から選ぶ場合

まず、15人から6人を選ぶすべての組み合わせを求める。これは、$_{15}C_6$通り。

次に、B組の生徒を誰も選ばない場合、つまりA組から6人を選ぶ組み合わせを求める。これは、$_{10}C_6$通り。

少なくとも1人B組から選ぶ組み合わせは、すべての組み合わせからB組の生徒を誰も選ばない組み合わせを引いたものになる。

$_{15}C_6 = \frac{15!}{6!9!} = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 5005$

$_{10}C_6 = \frac{10!}{6!4!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210$

したがって、少なくとも1人B組から選ぶ組み合わせの数は、

$5005 - 210 = 4795$ 通り

3. 最終的な答え

(1) 2100通り

(2) 4795通り