A, B, C, D, E, F, G の 7 文字を 1 列に並べるとき、A が B より左側にあり、かつ B が C より左側にある確率を求めよ。

1. 問題の内容

A, B, C, D, E, F, G の 7 文字を 1 列に並べるとき、A が B より左側にあり、かつ B が C より左側にある確率を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、7 文字を並べる総数を求める。これは 7! 通りである。

次に、A, B, C の位置関係のみを考える。A, B, C は左からこの順に並んでいる必要がある。A, B, C の並び方は 3! = 6 通り考えられるが、このうち A が B より左にあり、かつ B が C より左にあるのは 1 通りのみである。

したがって、A, B, C の位置関係が条件を満たす確率は 1/6 である。

D, E, F, G の並び方は特に条件がないため、自由に並べることができる。

求める確率は、A, B, C の位置関係が条件を満たす確率に等しい。

具体的に考えると、まず 7 つの場所から A, B, C の場所を 3 つ選ぶ。その選び方は $_7C_3$ 通り。

選んだ場所に A, B, C をこの順に配置する。残りの 4 つの場所に D, E, F, G を自由に配置する。その並び方は 4! 通り。

したがって、条件を満たす並び方は $_7C_3 \times 4!$ 通り。

$_7C_3 = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

求める確率は $\frac{_7C_3 \times 4!}{7!} = \frac{35 \times 4!}{7!} = \frac{35 \times 4!}{7 \times 6 \times 5 \times 4!} = \frac{35}{7 \times 6 \times 5} = \frac{1}{6}$

別の考え方として、7 文字の並べ方は 7! 通り。A, B, C の順番がどのように並んでいても、6 通りの並べ方がある。A, B, C の順番が指定された通りになるのはそのうち 1 通りなので、確率は 1/6。

3. 最終的な答え

1/6