1から4までの数字が書かれた4枚の札から、同時に2枚の札を引きます。引いた札に書かれた数字のうち、大きい方の数字をXとします。このとき、Xの平均と標準偏差を求めます。

1. 問題の内容

1から4までの数字が書かれた4枚の札から、同時に2枚の札を引きます。引いた札に書かれた数字のうち、大きい方の数字をXとします。このとき、Xの平均と標準偏差を求めます。

2. 解き方の手順

まず、Xの取りうる値とそれぞれの値を取る確率を求めます。

Xは、引いた2枚の札の大きい方の数字なので、X=2, 3, 4のいずれかになります。

次に、それぞれの確率を計算します。

- X=2となるのは、{1, 2}の組み合わせの場合のみなので、確率は $\frac{1}{{}_4C_2} = \frac{1}{6}$

- X=3となるのは、{1, 3}, {2, 3}の組み合わせの場合なので、確率は $\frac{2}{{}_4C_2} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

- X=4となるのは、{1, 4}, {2, 4}, {3, 4}の組み合わせの場合なので、確率は $\frac{3}{{}_4C_2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

ここで、${}_4C_2$は4枚から2枚を選ぶ組み合わせの数であり、$\frac{4!}{2!2!} = \frac{4\times3}{2\times1} = 6$です。

Xの確率分布は以下のようになります。

| X | 2 | 3 | 4 |

|---|---|---|---|

| P(X) | 1/6 | 1/3 | 1/2 |

次に、平均E(X)を計算します。

$E(X) = 2 \times \frac{1}{6} + 3 \times \frac{1}{3} + 4 \times \frac{1}{2} = \frac{2}{6} + \frac{3}{3} + \frac{4}{2} = \frac{1}{3} + 1 + 2 = 3 + \frac{1}{3} = \frac{10}{3}$

次に、X^2の平均E(X^2)を計算します。

$E(X^2) = 2^2 \times \frac{1}{6} + 3^2 \times \frac{1}{3} + 4^2 \times \frac{1}{2} = 4 \times \frac{1}{6} + 9 \times \frac{1}{3} + 16 \times \frac{1}{2} = \frac{4}{6} + \frac{9}{3} + \frac{16}{2} = \frac{2}{3} + 3 + 8 = 11 + \frac{2}{3} = \frac{35}{3}$

次に、分散V(X)を計算します。

$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \frac{35}{3} - (\frac{10}{3})^2 = \frac{35}{3} - \frac{100}{9} = \frac{105}{9} - \frac{100}{9} = \frac{5}{9}$

最後に、標準偏差σ(X)を計算します。

$\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$

3. 最終的な答え

平均: $\frac{10}{3}$

標準偏差: $\frac{\sqrt{5}}{3}$