9人の生徒を以下の人数の組に分ける方法の数をそれぞれ求めます。 (1) 4人, 3人, 2人の3組 (2) 3人, 3人, 3人の3組 (3) 5人, 2人, 2人の3組

1. 問題の内容

9人の生徒を以下の人数の組に分ける方法の数をそれぞれ求めます。

(1) 4人, 3人, 2人の3組

(2) 3人, 3人, 3人の3組

(3) 5人, 2人, 2人の3組

2. 解き方の手順

(1) 4人、3人、2人の組に分ける場合：

まず、9人から4人を選ぶ組み合わせは ${9 \choose 4}$通り。

次に、残りの5人から3人を選ぶ組み合わせは ${5 \choose 3}$通り。

最後に、残りの2人から2人を選ぶ組み合わせは ${2 \choose 2}$通り。

よって、求める場合の数は

${9 \choose 4} \times {5 \choose 3} \times {2 \choose 2} = \frac{9!}{4!5!} \times \frac{5!}{3!2!} \times \frac{2!}{2!0!} = 126 \times 10 \times 1 = 1260$

(2) 3人、3人、3人の組に分ける場合：

まず、9人から3人を選ぶ組み合わせは ${9 \choose 3}$通り。

次に、残りの6人から3人を選ぶ組み合わせは ${6 \choose 3}$通り。

最後に、残りの3人から3人を選ぶ組み合わせは ${3 \choose 3}$通り。

ただし、3つの組は区別しないので、3!で割る必要がある。

よって、求める場合の数は

$\frac{{9 \choose 3} \times {6 \choose 3} \times {3 \choose 3}}{3!} = \frac{\frac{9!}{3!6!} \times \frac{6!}{3!3!} \times \frac{3!}{3!0!}}{3!} = \frac{84 \times 20 \times 1}{6} = \frac{1680}{6} = 280$

(3) 5人、2人、2人の組に分ける場合：

まず、9人から5人を選ぶ組み合わせは ${9 \choose 5}$通り。

次に、残りの4人から2人を選ぶ組み合わせは ${4 \choose 2}$通り。

最後に、残りの2人から2人を選ぶ組み合わせは ${2 \choose 2}$通り。

ただし、2つの2人の組は区別しないので、2!で割る必要がある。

よって、求める場合の数は

$\frac{{9 \choose 5} \times {4 \choose 2} \times {2 \choose 2}}{2!} = \frac{\frac{9!}{5!4!} \times \frac{4!}{2!2!} \times \frac{2!}{2!0!}}{2!} = \frac{126 \times 6 \times 1}{2} = \frac{756}{2} = 378$

3. 最終的な答え

(1) 1260通り

(2) 280通り

(3) 378通り