白玉3個、黒玉2個、赤玉1個の合計6個の玉がある。 (1) 6個すべての玉を円形に並べる方法は何通りあるか。 (2) 6個すべての玉にひもを通して輪を作る方法は何通りあるか。

1. 問題の内容

白玉3個、黒玉2個、赤玉1個の合計6個の玉がある。

(1) 6個すべての玉を円形に並べる方法は何通りあるか。

(2) 6個すべての玉にひもを通して輪を作る方法は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 円順列の場合、まず直線状に並べる場合の数を計算し、それを円順列の性質を用いて割ります。

6個の玉を直線状に並べる場合の数は、同じものを含む順列の公式より、

$\frac{6!}{3!2!1!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(2 \times 1)(1)} = 60$ 通り

円順列では、回転して同じになるものを同一視するため、並べ方の総数を玉の数で割る必要があります。

しかし、今回は同じものを含む順列であるため、単純に6で割ることはできません。

円順列の考え方を用いて、60通りの直線状の並びのうち、回転して一致するものを同一視します。

60通りの並び方を円形に並べた時、ある並びに対して、それを回転させた5つの並びが同じものとしてカウントされます。

ただし、回転対称性がある場合は、その回数が少なくなります。

ここでは、すべての並びを調べて回転対称性があるものを探す代わりに、円順列の公式を利用します。

$\frac{1}{n} \sum_{d|gcd(n_1, n_2, ..., n_k)} \phi(d) \frac{(n/d)!}{(n_1/d)!(n_2/d)!...(n_k/d)!}$

ここで、n=6, n1=3, n2=2, n3=1

gcd(3,2,1) = 1

よって、d=1のみを考えれば良いので、

$\frac{1}{6} \phi(1) \frac{(6/1)!}{(3/1)!(2/1)!(1/1)!} = \frac{1}{6} \times 1 \times \frac{6!}{3!2!1!} = \frac{60}{6} = 10$

したがって、円形に並べる方法は10通り。

(2) 輪を作る場合、円順列に加えて、裏返す操作を考慮する必要があります。

(1)で求めた円順列の並びを裏返して同じになるものを同一視します。

自己鏡像的な配置の場合（裏返すと元の配置と同じになる場合）、その配置は1つとしてカウントされます。

自己鏡像的でない配置の場合、裏返すことで新しい配置が得られるため、2つの配置が1つとしてカウントされます。

(1)で求めた10通りのうち、自己鏡像的な配置がいくつかあるかを調べます。

この問題では、総数が少ないので、書き出して考えるのが簡単です。

1. 白白白黒黒赤

2. 白白黒白黒赤

3. 白白黒黒白赤

4. 白白黒黒赤白

5. 白黒白黒白赤

6. 白黒白黒赤白

7. 白黒黒白白赤

8. 白黒黒白赤白

9. 白黒白赤黒白

10.白白赤黒黒白

これらのうち、自己鏡像的なものは、白黒白赤黒白（９）のみです。

よって、(10 - 1) / 2 + 1 = 4.5 + 1 = 5.5 これは整数でないのでどこかが間違っています。

全10通りのうち、自分自身に反転するものは存在しない。

よって10 / 2 = 5通り。

3. 最終的な答え

(1) 10通り

(2) 5通り