1個のサイコロを4回投げるとき、以下の確率を求めます。 (1) 3の目がちょうど2回出る確率 (2) 2以下の目がちょうど3回出る確率

1. 問題の内容

1個のサイコロを4回投げるとき、以下の確率を求めます。

(1) 3の目がちょうど2回出る確率

(2) 2以下の目がちょうど3回出る確率

2. 解き方の手順

(1) 3の目がちょうど2回出る確率

サイコロを1回投げたとき、3の目が出る確率は $\frac{1}{6}$ 、3以外の目が出る確率は $\frac{5}{6}$ です。

4回中2回だけ3の目が出る確率は、二項分布を用いて計算できます。組み合わせを考慮すると、

${}_4C_2 \times (\frac{1}{6})^2 \times (\frac{5}{6})^2$

となります。${}_4C_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ なので、

$6 \times (\frac{1}{36}) \times (\frac{25}{36}) = \frac{150}{1296} = \frac{25}{216}$

(2) 2以下の目がちょうど3回出る確率

サイコロを1回投げたとき、2以下の目が出る確率は $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ 、3以上の目が出る確率は $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ です。

4回中3回だけ2以下の目が出る確率は、二項分布を用いて計算できます。組み合わせを考慮すると、

${}_4C_3 \times (\frac{1}{3})^3 \times (\frac{2}{3})^1$

となります。${}_4C_3 = \frac{4!}{3!1!} = 4$ なので、

$4 \times (\frac{1}{27}) \times (\frac{2}{3}) = \frac{8}{81}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{25}{216}$

(2) $\frac{8}{81}$