白玉3個、黒玉2個、赤玉1個の計6個の玉がある。 (1) 6個すべての玉を円形に並べる方法は何通りあるか。 (2) 6個すべての玉にひもを通し、輪を作る方法は何通りあるか。

1. 問題の内容

白玉3個、黒玉2個、赤玉1個の計6個の玉がある。

(1) 6個すべての玉を円形に並べる方法は何通りあるか。

(2) 6個すべての玉にひもを通し、輪を作る方法は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 円順列の問題。まず、6個の玉を直線に並べる場合の数を計算する。

これは、同じものを含む順列の公式を用いる。次に、円順列の考え方を用いて、重複を排除する。

6個の玉を直線に並べる場合の数は、

$\frac{6!}{3!2!1!} = \frac{720}{6 \cdot 2 \cdot 1} = 60$ 通り。

円順列なので、6個並び方が同じになるものを1つと数える。

つまり、60通りを6で割るわけではない。

基準となるものを固定して考える。

例えば、赤玉の位置を固定する。

残りの5つの場所へ白玉3個、黒玉2個を並べる場合の数を考える。

$\frac{5!}{3!2!} = \frac{120}{6 \cdot 2} = 10$ 通り。

(2) 輪を作る場合は、裏返すと同じ並びになるものを同一とみなす必要がある。

(1)で求めた10通りのうち、裏返して同じになるものを探す。

もしすべての並びが裏返すと異なるなら、10/2 = 5通りとなる。

具体的に書き出して考える。

白をW、黒をB、赤をRで表す。赤を固定して、残りの並びを考える。

1. WWWBBR

2. WWBWBR

3. WWBBWR

4. WBWBR

5. WBWBRW

6. WBWBRW

7. WBBRWW

8. BWWBR

9. BWBWR

1

0. BBWWR

この中で、裏返すと同一になるものがあるか確認する。

各並びの逆順を考える。

1. RBWBBW

2. RBWBWW

3. RWBBWW

4. RWBWBW

5. RWBWBW

6. RWBWBW

7. WWBRWB

8. RBWWBW

9. RWBWWB

1

0. RWWBBD

裏返して一致するものはない。

したがって、(1)で求めた10通りの中に、裏返すと一致するものはないため、10/2 = 5通りとはならない。

自己反転する並びが存在するかを調べる。しかし、異なる色の玉があるので、自己反転することはありえない。

よって、(1)で求めた10通りを2で割るという操作はできない。

10通りを反転させると別のパターンになるため、(1)の場合の数を2で割ることはできない。

10通りの並びをすべて書き出し、それらを裏返したときに重複するものがいくつあるかを調べる。

この場合は重複するものが無いので、$\frac{10}{2}$ にはならない。

10通りがそのまま答えとなる。

または、(1)で求めたのが円順列であり、裏返した場合も同じ並びとみなす必要があるため、総数を2で割る必要があると考える。しかし、この場合は単純に2で割ることはできない。

赤を固定し、左右対称な並びが存在するかどうかを考える。

3個の白玉と2個の黒玉を左右対称に並べることはできない。

例えば、WWBBRという並びは、RWBBWWとなり、異なっている。

3. 最終的な答え

(1) 10通り

(2) 5通り