A工場で40%、B工場で60%生産される製品がある。A工場の製品の不良率は1%、B工場の製品の不良率は2%である。製品の中から1個を取り出したところ、不良品であった。この不良品がA工場の製品である確率を求めよ。

1. 問題の内容

A工場で40%、B工場で60%生産される製品がある。A工場の製品の不良率は1%、B工場の製品の不良率は2%である。製品の中から1個を取り出したところ、不良品であった。この不良品がA工場の製品である確率を求めよ。

2. 解き方の手順

この問題は条件付き確率の問題なので、ベイズの定理を利用して解く。

A工場で生産された製品である事象をA、B工場で生産された製品である事象をB、不良品である事象をDと定義する。

求めるものは、不良品であったときに、それがA工場で生産されたものである確率 $P(A|D)$ である。

ベイズの定理より、

$P(A|D) = \frac{P(D|A)P(A)}{P(D)}$

ここで、$P(A) = 0.4$ (A工場での生産割合)、 $P(B) = 0.6$ (B工場での生産割合)、 $P(D|A) = 0.01$ (A工場の不良率)、 $P(D|B) = 0.02$ (B工場の不良率) である。

$P(D)$ は、不良品である確率を表し、これは全確率の定理より、

$P(D) = P(D|A)P(A) + P(D|B)P(B)$

$P(D) = (0.01)(0.4) + (0.02)(0.6) = 0.004 + 0.012 = 0.016$

したがって、

$P(A|D) = \frac{P(D|A)P(A)}{P(D)} = \frac{(0.01)(0.4)}{0.016} = \frac{0.004}{0.016} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} = 0.25$

3. 最終的な答え

1/4 (0.25)