赤玉3個と白玉5個が入った袋がある。台の上には玉が1つもない状態から、以下の試行を4回繰り返す。試行の内容は、袋から玉を1個取り出して台の上に置き、台の上に同じ色の玉が2個ある場合には、台の上の玉を全て袋に戻し、そうでない場合には、台の上の玉はそのままにしておく。4回の試行後、台の上に玉が1つもないのはどのような結果の場合か説明し、その確率を求めよ。

1. 問題の内容

赤玉3個と白玉5個が入った袋がある。台の上には玉が1つもない状態から、以下の試行を4回繰り返す。試行の内容は、袋から玉を1個取り出して台の上に置き、台の上に同じ色の玉が2個ある場合には、台の上の玉を全て袋に戻し、そうでない場合には、台の上の玉はそのままにしておく。4回の試行後、台の上に玉が1つもないのはどのような結果の場合か説明し、その確率を求めよ。

2. 解き方の手順

台の上に玉が1つもない状態になるのは、4回の試行全てで同じ色の玉が2回連続で出てくる場合である。つまり、1回目に玉を置き、2回目に同じ色の玉が出てくる。その後、台の上の玉は袋に戻される。3回目に玉を置き、4回目に同じ色の玉が出てくる。その後、台の上の玉は袋に戻される。

赤をR、白をWと表すと、考えられるパターンは、(RR)(RR), (RR)(WW), (WW)(RR), (WW)(WW)の4通りである。

袋の中の玉の数は常に合計8個であることに注意する。

- (RR)(RR)の場合：

1回目：赤を引く確率は $\frac{3}{8}$

2回目：赤を引く確率は $\frac{2}{7}$

3回目：赤を引く確率は $\frac{3}{8}$

4回目：赤を引く確率は $\frac{2}{7}$

確率は $\frac{3}{8} \times \frac{2}{7} \times \frac{3}{8} \times \frac{2}{7} = \frac{36}{3136} = \frac{9}{784}$

- (RR)(WW)の場合：

1回目：赤を引く確率は $\frac{3}{8}$

2回目：赤を引く確率は $\frac{2}{7}$

3回目：白を引く確率は $\frac{5}{8}$

4回目：白を引く確率は $\frac{4}{7}$

確率は $\frac{3}{8} \times \frac{2}{7} \times \frac{5}{8} \times \frac{4}{7} = \frac{120}{3136} = \frac{15}{392}$

- (WW)(RR)の場合：

1回目：白を引く確率は $\frac{5}{8}$

2回目：白を引く確率は $\frac{4}{7}$

3回目：赤を引く確率は $\frac{3}{8}$

4回目：赤を引く確率は $\frac{2}{7}$

確率は $\frac{5}{8} \times \frac{4}{7} \times \frac{3}{8} \times \frac{2}{7} = \frac{120}{3136} = \frac{15}{392}$

- (WW)(WW)の場合：

1回目：白を引く確率は $\frac{5}{8}$

2回目：白を引く確率は $\frac{4}{7}$

3回目：白を引く確率は $\frac{5}{8}$

4回目：白を引く確率は $\frac{4}{7}$

確率は $\frac{5}{8} \times \frac{4}{7} \times \frac{5}{8} \times \frac{4}{7} = \frac{400}{3136} = \frac{25}{196}$

合計の確率は、

$\frac{9}{784} + \frac{15}{392} + \frac{15}{392} + \frac{25}{196} = \frac{9}{784} + \frac{30}{392} + \frac{25}{196} = \frac{9}{784} + \frac{60}{784} + \frac{100}{784} = \frac{169}{784}$

3. 最終的な答え

4回の試行を繰り返した直後に、台の上に玉が1つもないのは、2回連続で同じ色の玉が出た後に、再度2回連続で同じ色の玉が出る場合である。確率は$\frac{169}{784}$。