$a$ が実数であるとき、$\frac{2+3i}{a+i}$ が純虚数となるような $a$ の値を求める。代数学複素数純虚数複素数の除算実数化2025/6/231. 問題の内容aaa が実数であるとき、2+3ia+i\frac{2+3i}{a+i}a+i2+3i が純虚数となるような aaa の値を求める。2. 解き方の手順まず、与えられた複素数を A+BiA+BiA+Bi の形に変形する。ここで、AAA と BBB は実数である。2+3ia+i\frac{2+3i}{a+i}a+i2+3i の分母を実数化するために、分母の共役複素数 a−ia-ia−i を分母と分子にかける。2+3ia+i=(2+3i)(a−i)(a+i)(a−i)=2a−2i+3ai−3i2a2−i2\frac{2+3i}{a+i} = \frac{(2+3i)(a-i)}{(a+i)(a-i)} = \frac{2a - 2i + 3ai - 3i^2}{a^2 - i^2}a+i2+3i=(a+i)(a−i)(2+3i)(a−i)=a2−i22a−2i+3ai−3i2i2=−1i^2 = -1i2=−1 を用いて、2a−2i+3ai+3a2+1=(2a+3)+(3a−2)ia2+1=2a+3a2+1+3a−2a2+1i\frac{2a - 2i + 3ai + 3}{a^2 + 1} = \frac{(2a+3) + (3a-2)i}{a^2+1} = \frac{2a+3}{a^2+1} + \frac{3a-2}{a^2+1}ia2+12a−2i+3ai+3=a2+1(2a+3)+(3a−2)i=a2+12a+3+a2+13a−2iこの複素数が純虚数であるためには、実部が0でなければならない。つまり、2a+3a2+1=0\frac{2a+3}{a^2+1} = 0a2+12a+3=0これを解くと、2a+3=02a+3 = 02a+3=02a=−32a = -32a=−3a=−32a = -\frac{3}{2}a=−23このとき、虚部は 3(−32)−2(−32)2+1=−92−294+1=−132134=−132×413=−2≠0\frac{3(-\frac{3}{2})-2}{(-\frac{3}{2})^2+1} = \frac{-\frac{9}{2}-2}{\frac{9}{4}+1} = \frac{-\frac{13}{2}}{\frac{13}{4}} = -\frac{13}{2} \times \frac{4}{13} = -2 \neq 0(−23)2+13(−23)−2=49+1−29−2=413−213=−213×134=−2=0 となる。したがって、a=−32a=-\frac{3}{2}a=−23 は条件を満たす。3. 最終的な答えa=−32a = -\frac{3}{2}a=−23