$a$ が実数であるとき、$\frac{2+3i}{a+i}$ が純虚数となるような $a$ の値を求める。

代数学複素数純虚数複素数の除算実数化
2025/6/23

1. 問題の内容

aa が実数であるとき、2+3ia+i\frac{2+3i}{a+i} が純虚数となるような aa の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた複素数を A+BiA+Bi の形に変形する。ここで、AABB は実数である。
2+3ia+i\frac{2+3i}{a+i} の分母を実数化するために、分母の共役複素数 aia-i を分母と分子にかける。
2+3ia+i=(2+3i)(ai)(a+i)(ai)=2a2i+3ai3i2a2i2\frac{2+3i}{a+i} = \frac{(2+3i)(a-i)}{(a+i)(a-i)} = \frac{2a - 2i + 3ai - 3i^2}{a^2 - i^2}
i2=1i^2 = -1 を用いて、
2a2i+3ai+3a2+1=(2a+3)+(3a2)ia2+1=2a+3a2+1+3a2a2+1i\frac{2a - 2i + 3ai + 3}{a^2 + 1} = \frac{(2a+3) + (3a-2)i}{a^2+1} = \frac{2a+3}{a^2+1} + \frac{3a-2}{a^2+1}i
この複素数が純虚数であるためには、実部が0でなければならない。つまり、
2a+3a2+1=0\frac{2a+3}{a^2+1} = 0
これを解くと、
2a+3=02a+3 = 0
2a=32a = -3
a=32a = -\frac{3}{2}
このとき、虚部は 3(32)2(32)2+1=92294+1=132134=132×413=20\frac{3(-\frac{3}{2})-2}{(-\frac{3}{2})^2+1} = \frac{-\frac{9}{2}-2}{\frac{9}{4}+1} = \frac{-\frac{13}{2}}{\frac{13}{4}} = -\frac{13}{2} \times \frac{4}{13} = -2 \neq 0 となる。
したがって、a=32a=-\frac{3}{2} は条件を満たす。

3. 最終的な答え

a=32a = -\frac{3}{2}

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