$a$ が実数であるとき、$\frac{2+3i}{a+i}$ が純虚数となるような $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

$a$ が実数であるとき、$\frac{2+3i}{a+i}$ が純虚数となるような $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた複素数を $A+Bi$ の形に変形する。ここで、$A$ と $B$ は実数である。

$\frac{2+3i}{a+i}$ の分母を実数化するために、分母の共役複素数 $a-i$ を分母と分子にかける。

$\frac{2+3i}{a+i} = \frac{(2+3i)(a-i)}{(a+i)(a-i)} = \frac{2a - 2i + 3ai - 3i^2}{a^2 - i^2}$

$i^2 = -1$ を用いて、

$\frac{2a - 2i + 3ai + 3}{a^2 + 1} = \frac{(2a+3) + (3a-2)i}{a^2+1} = \frac{2a+3}{a^2+1} + \frac{3a-2}{a^2+1}i$

この複素数が純虚数であるためには、実部が0でなければならない。つまり、

$\frac{2a+3}{a^2+1} = 0$

これを解くと、

$2a+3 = 0$

$2a = -3$

$a = -\frac{3}{2}$

このとき、虚部は $\frac{3(-\frac{3}{2})-2}{(-\frac{3}{2})^2+1} = \frac{-\frac{9}{2}-2}{\frac{9}{4}+1} = \frac{-\frac{13}{2}}{\frac{13}{4}} = -\frac{13}{2} \times \frac{4}{13} = -2 \neq 0$ となる。

したがって、$a=-\frac{3}{2}$ は条件を満たす。

3. 最終的な答え

$a = -\frac{3}{2}$