次の複素数を極形式で表す問題です。偏角 $\theta$ の範囲は、(1),(2)では $0 \le \theta < 2\pi$、(3),(4)では $-\pi < \theta \le \pi$ とします。 (1) $\sqrt{3}+i$ (2) $2+2i$ (3) $1-\sqrt{3}i$ (4) $-i$

1. 問題の内容

次の複素数を極形式で表す問題です。偏角 $\theta$ の範囲は、(1),(2)では $0 \le \theta < 2\pi$、(3),(4)では $-\pi < \theta \le \pi$ とします。

(1) $\sqrt{3}+i$

(2) $2+2i$

(3) $1-\sqrt{3}i$

(4) $-i$

2. 解き方の手順

複素数 $z = a + bi$ の極形式は $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ で表されます。

ここで、$r = \sqrt{a^2 + b^2}$ は絶対値、$\theta$ は偏角です。

$\cos\theta = \frac{a}{r}$ と $\sin\theta = \frac{b}{r}$ を満たす $\theta$ を求めます。

(1) $z = \sqrt{3}+i$ の場合

$r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$

$\cos\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin\theta = \frac{1}{2}$

$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で $\theta = \frac{\pi}{6}$

よって、$\sqrt{3}+i = 2\left(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}\right)$

(2) $z = 2+2i$ の場合

$r = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

$\cos\theta = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$, $\sin\theta = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で $\theta = \frac{\pi}{4}$

よって、$2+2i = 2\sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right)$

(3) $z = 1-\sqrt{3}i$ の場合

$r = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$

$\cos\theta = \frac{1}{2}$, $\sin\theta = \frac{-\sqrt{3}}{2}$

$-\pi < \theta \le \pi$ の範囲で $\theta = -\frac{\pi}{3}$

よって、$1-\sqrt{3}i = 2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)$

(4) $z = -i$ の場合

$r = \sqrt{0^2 + (-1)^2} = \sqrt{0+1} = \sqrt{1} = 1$

$\cos\theta = \frac{0}{1} = 0$, $\sin\theta = \frac{-1}{1} = -1$

$-\pi < \theta \le \pi$ の範囲で $\theta = -\frac{\pi}{2}$

よって、$-i = 1\left(\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right) = \cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{3}+i = 2\left(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}\right)$

(2) $2+2i = 2\sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right)$

(3) $1-\sqrt{3}i = 2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)$

(4) $-i = \cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)$