次の方程式を解く。 (1) $x^3 + 8 = 0$ (2) $x^4 + 5x^2 - 6 = 0$ (3) $2x^3 - 3x^2 - 4 = 0$

1. 問題の内容

次の方程式を解く。

(1) $x^3 + 8 = 0$

(2) $x^4 + 5x^2 - 6 = 0$

(3) $2x^3 - 3x^2 - 4 = 0$

2. 解き方の手順

(1) $x^3 + 8 = 0$ は $x^3 = -8$ と変形できる。

$-8 = 8(\cos(\pi + 2n\pi) + i\sin(\pi + 2n\pi))$ ($n$は整数) と極形式で表せる。

ド・モアブルの定理より、

$x = 2(\cos(\frac{\pi + 2n\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi + 2n\pi}{3}))$

$n = 0, 1, 2$ を代入して、

$n = 0$ のとき、 $x = 2(\cos(\frac{\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{3})) = 2(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = 1 + i\sqrt{3}$

$n = 1$ のとき、 $x = 2(\cos(\pi) + i\sin(\pi)) = 2(-1 + 0) = -2$

$n = 2$ のとき、 $x = 2(\cos(\frac{5\pi}{3}) + i\sin(\frac{5\pi}{3})) = 2(\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}) = 1 - i\sqrt{3}$

(2) $x^4 + 5x^2 - 6 = 0$ は、$X = x^2$ とおくと、$X^2 + 5X - 6 = 0$ となる。

$(X + 6)(X - 1) = 0$

$X = -6, 1$

$x^2 = -6, 1$

$x = \pm\sqrt{-6} = \pm i\sqrt{6}, \pm\sqrt{1} = \pm 1$

(3) $2x^3 - 3x^2 - 4 = 0$

$x = 2$ を代入すると、 $2(2)^3 - 3(2)^2 - 4 = 16 - 12 - 4 = 0$ となるので、$x = 2$ は解の一つである。

$2x^3 - 3x^2 - 4 = (x - 2)(2x^2 + x + 2) = 0$

$x = 2$ または $2x^2 + x + 2 = 0$

$2x^2 + x + 2 = 0$ を解くと、$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4(2)(2)}}{2(2)} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 16}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{-15}}{4} = \frac{-1 \pm i\sqrt{15}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $x = -2, 1 + i\sqrt{3}, 1 - i\sqrt{3}$

(2) $x = 1, -1, i\sqrt{6}, -i\sqrt{6}$

(3) $x = 2, \frac{-1 + i\sqrt{15}}{4}, \frac{-1 - i\sqrt{15}}{4}$