△ABCにおいて、∠Bの二等分線と辺ACとの交点をDとする。AB=5, AD=3, DC=2であるとき、以下の問いに答える。 (1) 辺BCの長さを求めよ。 (2) △ABCの重心をGとするとき、線分AGの長さを求めよ。 (3) △ABCの内心をIとするとき、線分AIの長さを求めよ。

1. 問題の内容

△ABCにおいて、∠Bの二等分線と辺ACとの交点をDとする。AB=5, AD=3, DC=2であるとき、以下の問いに答える。

(1) 辺BCの長さを求めよ。

(2) △ABCの重心をGとするとき、線分AGの長さを求めよ。

(3) △ABCの内心をIとするとき、線分AIの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 角の二等分線の性質を利用する。BDは∠Bの二等分線なので、

$AB:BC = AD:DC$

$5:BC = 3:2$

$BC = \frac{5 \cdot 2}{3} = \frac{10}{3}$

(2) まず、中線AMを求める。MはBCの中点なので、$BM = CM = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \cdot \frac{10}{3} = \frac{5}{3}$

△ABMにおいて余弦定理を用いる。

$AM^2 = AB^2 + BM^2 - 2 \cdot AB \cdot BM \cdot cosB$

△ABCにおいて余弦定理を用いる。

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot cosB$

$5^2 = 5^2 + (\frac{10}{3})^2 - 2 \cdot 5 \cdot \frac{10}{3} \cdot cosB$

$25 = 25 + \frac{100}{9} - \frac{100}{3} \cdot cosB$

$\frac{100}{3} cosB = \frac{100}{9}$

$cosB = \frac{1}{3}$

$AM^2 = 5^2 + (\frac{5}{3})^2 - 2 \cdot 5 \cdot \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{3} = 25 + \frac{25}{9} - \frac{50}{9} = 25 - \frac{25}{9} = \frac{225-25}{9} = \frac{200}{9}$

$AM = \sqrt{\frac{200}{9}} = \frac{10\sqrt{2}}{3}$

重心Gは中線AMを2:1に内分するので、$AG = \frac{2}{3}AM = \frac{2}{3} \cdot \frac{10\sqrt{2}}{3} = \frac{20\sqrt{2}}{9}$

(3) 内心をIとする。AIは∠Aの二等分線なので、角の二等分線の性質より、

$AI:ID = (AB+AC):BC$

$AC = AD+DC = 3+2 = 5$

$AI:ID = (5+5):\frac{10}{3} = 10:\frac{10}{3} = 3:1$

よって、ADを3:1に内分する点がIとなる。

ここで、∠Aの大きさがわからないため、直接AIの長さを求めることは難しい。

3. 最終的な答え

(1) $BC = \frac{10}{3}$

(2) $AG = \frac{20\sqrt{2}}{9}$

(3) 解答不能