問題137(3)は、命題「$x^2 + 6x + 7 = 0 \Rightarrow x < -2$」の真偽を判定し、偽である場合は反例を挙げる問題です。 問題138(1)は、$x = \pm\sqrt{5}$ が $x^2 = 5$ であるための必要条件、十分条件のいずれであるか判定する問題です。選択肢は以下の4つです。 ① 「必要条件であるが、十分条件ではない」 ② 「十分条件であるが、必要条件ではない」 ③ 「必要十分条件である」 ④ 「必要条件でも十分条件でもない」

1. 問題の内容

問題137(3)は、命題「$x^2 + 6x + 7 = 0 \Rightarrow x < -2$」の真偽を判定し、偽である場合は反例を挙げる問題です。

問題138(1)は、$x = \pm\sqrt{5}$ が $x^2 = 5$ であるための必要条件、十分条件のいずれであるか判定する問題です。選択肢は以下の4つです。

① 「必要条件であるが、十分条件ではない」

② 「十分条件であるが、必要条件ではない」

③ 「必要十分条件である」

④ 「必要条件でも十分条件でもない」

2. 解き方の手順

問題137(3)

$x^2 + 6x + 7 = 0$ を解きます。解の公式を用いると、

$x = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 28}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -3 \pm \sqrt{2}$

$x = -3 + \sqrt{2}$ のとき、$\sqrt{2} \approx 1.414$ なので、$x \approx -3 + 1.414 = -1.586$

$x = -3 - \sqrt{2}$ のとき、$x \approx -3 - 1.414 = -4.414$

したがって、$x^2 + 6x + 7 = 0$ の解は $x = -3 + \sqrt{2}$ と $x = -3 - \sqrt{2}$ です。

$x = -3 + \sqrt{2}$ は $x < -2$ を満たしますが、$x = -3 - \sqrt{2}$ も $x < -2$ を満たします。

したがって、命題「$x^2 + 6x + 7 = 0 \Rightarrow x < -2$」は真です。

問題138(1)

$P$: $x = \pm\sqrt{5}$

$Q$: $x^2 = 5$

$x = \pm\sqrt{5}$ ならば $x^2 = 5$ は真です。

$x^2 = 5$ ならば $x = \pm\sqrt{5}$ も真です。

したがって、$x = \pm\sqrt{5}$ は $x^2 = 5$ であるための必要十分条件です。

3. 最終的な答え

問題137(3)：真

問題138(1)：③