関数 $f(x) = x^2 - 5x + 3$ について、$0 \le x \le a$ の範囲での最大値 $M$ と最小値 $m$ を求める問題です。ただし、$a$ の範囲が (1) $0 < a < \frac{5}{2}$, (2) $\frac{5}{2} \le a \le 5$, (3) $a > 5$ の3つの場合に分けられています。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 - 5x + 3$ について、$0 \le x \le a$ の範囲での最大値 $M$ と最小値 $m$ を求める問題です。ただし、$a$ の範囲が (1) $0 < a < \frac{5}{2}$, (2) $\frac{5}{2} \le a \le 5$, (3) $a > 5$ の3つの場合に分けられています。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数 $f(x) = x^2 - 5x + 3$ を平方完成します。

$f(x) = (x - \frac{5}{2})^2 - \frac{25}{4} + 3 = (x - \frac{5}{2})^2 - \frac{13}{4}$

この関数は下に凸な放物線であり、軸は $x = \frac{5}{2}$ です。頂点の座標は$(\frac{5}{2}, -\frac{13}{4})$です。

(1) $0 < a < \frac{5}{2}$ のとき：

区間 $0 \le x \le a$ は軸 $x = \frac{5}{2}$ の左側にあります。したがって、$x = 0$ で最大値 $M$ をとり、$x = a$ で最小値 $m$ をとります。

$M = f(0) = 0^2 - 5(0) + 3 = 3$

$m = f(a) = a^2 - 5a + 3$

(2) $\frac{5}{2} \le a \le 5$ のとき：

区間 $0 \le x \le a$ は軸を含み、$a \le 5$ です。したがって、$x = 0$ で最大値 $M$ をとり、$x = \frac{5}{2}$ で最小値 $m$ をとります。

$M = f(0) = 0^2 - 5(0) + 3 = 3$

$m = f(\frac{5}{2}) = (\frac{5}{2})^2 - 5(\frac{5}{2}) + 3 = \frac{25}{4} - \frac{25}{2} + 3 = -\frac{13}{4}$

(3) $a > 5$ のとき：

区間 $0 \le x \le a$ は軸を含み、$a > 5$ です。したがって、$x = a$ で最大値 $M$ をとり、$x = \frac{5}{2}$ で最小値 $m$ をとります。

$M = f(a) = a^2 - 5a + 3$

$m = f(\frac{5}{2}) = (\frac{5}{2})^2 - 5(\frac{5}{2}) + 3 = \frac{25}{4} - \frac{25}{2} + 3 = -\frac{13}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $0 < a < \frac{5}{2}$ のとき、 $M = 3$, $m = a^2 - 5a + 3$

(2) $\frac{5}{2} \le a \le 5$ のとき、$M = 3$, $m = -\frac{13}{4}$

(3) $a > 5$ のとき、$M = a^2 - 5a + 3$, $m = -\frac{13}{4}$