与えられた3つの行列式の値を計算する問題です。定理3.2.2と定理3.2.4を利用して解く必要があります。

1. 問題の内容

与えられた3つの行列式の値を計算する問題です。定理3.2.2と定理3.2.4を利用して解く必要があります。

2. 解き方の手順

(1)の行列式を計算します。

$\begin{vmatrix} -2 & 0 & 5 \\ -1 & 0 & 3 \\ 2 & 4 & 1 \end{vmatrix}$

2列目に沿って余因子展開すると、

$(-1)^{3+2} \cdot 4 \cdot \begin{vmatrix} -2 & 5 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} = -4((-2)\cdot3 - 5\cdot(-1)) = -4(-6 + 5) = -4(-1) = 4$

(2)の行列式を計算します。

$\begin{vmatrix} 0 & 0 & -2 & 0 \\ 3 & 0 & 1 & 2 \\ 4 & 3 & 2 & -5 \\ -2 & 0 & 3 & 1 \end{vmatrix}$

2列目に沿って余因子展開すると、

$(-1)^{3+2} \cdot 3 \cdot \begin{vmatrix} 0 & -2 & 0 \\ 3 & 1 & 2 \\ -2 & 3 & 1 \end{vmatrix} = -3 \begin{vmatrix} 0 & -2 & 0 \\ 3 & 1 & 2 \\ -2 & 3 & 1 \end{vmatrix}$

1行目に沿って余因子展開すると、

$-3 \cdot (-2) \cdot (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} = 6(3\cdot1 - 2\cdot(-2)) = 6(3 + 4) = 6 \cdot 7 = 42$

(3)の行列式を計算します。

$\begin{vmatrix} 3 & 3 & 0 & 7 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & 5 & 3 \\ 2 & 1 & 0 & 1 \end{vmatrix}$

3列目に沿って余因子展開すると、

$(-1)^{3+3} \cdot 5 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 3 & 7 \\ 0 & -2 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 5 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 3 & 7 \\ 0 & -2 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix}$

2行目に沿って余因子展開すると、

$5 \cdot (-2) \cdot (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 3 & 7 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -10(3\cdot1 - 7\cdot2) = -10(3 - 14) = -10(-11) = 110$

3. 最終的な答え

(1)の行列式の値: 4

(2)の行列式の値: 42

(3)の行列式の値: 110