2次関数のグラフを平行移動させたときに、与えられたグラフに重なるようにするには、$a$, $p$, $q$ の値をそれぞれどのようにすればよいかを求める問題です。具体的には以下の2つの問題があります。 (1) $y = (x-p)^2 + q$ のグラフを、$x$ 軸方向に 1, $y$ 軸方向に 2 だけ平行移動させると、$y = (x-2)^2 + 3$ のグラフに重なる。このときの $p$, $q$, $a$ の値を求める。 (2) $y = a(x-p)^2 + q$ のグラフを、$x$ 軸方向に 3, $y$ 軸方向に 4 だけ平行移動させると、$y = 2(x-4)^2 + 7$ のグラフに重なる。このときの $p$, $q$ の値を求める。

1. 問題の内容

2次関数のグラフを平行移動させたときに、与えられたグラフに重なるようにするには、$a$, $p$, $q$ の値をそれぞれどのようにすればよいかを求める問題です。具体的には以下の2つの問題があります。

(1) $y = (x-p)^2 + q$ のグラフを、$x$ 軸方向に 1, $y$ 軸方向に 2 だけ平行移動させると、$y = (x-2)^2 + 3$ のグラフに重なる。このときの $p$, $q$, $a$ の値を求める。

(2) $y = a(x-p)^2 + q$ のグラフを、$x$ 軸方向に 3, $y$ 軸方向に 4 だけ平行移動させると、$y = 2(x-4)^2 + 7$ のグラフに重なる。このときの $p$, $q$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

* $y = (x-p)^2 + q$ を $x$ 軸方向に 1, $y$ 軸方向に 2 だけ平行移動させると、$y - 2 = (x - 1 - p)^2 + q$ となる。

これは $y = (x - (p+1))^2 + q + 2$ と変形できる。

* このグラフが $y = (x-2)^2 + 3$ と一致するので、以下の式が成り立つ。

$p + 1 = 2$

$q + 2 = 3$

係数比較より、$a = 1$

* これらの式を解いて、$p$ と $q$ の値を求める。

(2)

* $y = a(x-p)^2 + q$ を $x$ 軸方向に 3, $y$ 軸方向に 4 だけ平行移動させると、$y - 4 = a(x - 3 - p)^2 + q$ となる。

これは $y = a(x - (p+3))^2 + q + 4$ と変形できる。

* このグラフが $y = 2(x-4)^2 + 7$ と一致するので、以下の式が成り立つ。

$p + 3 = 4$

$q + 4 = 7$

$a = 2$

* これらの式を解いて、$p$ と $q$ の値を求める。

3. 最終的な答え

(1)

$p = 1$

$q = 1$

$a = 1$

(2)

$p = 1$

$q = 3$