箱の中に1が書かれたカードが2枚、2が書かれたカードが1枚、4が書かれたカードが1枚入っている。この中からカードを1枚ずつ元に戻さずに2枚続けて引くとき、偶数のカードを引く回数を$X$とする。このとき、確率変数$Y = -5X + 12$の期待値$E(Y)$と標準偏差$\sigma(Y)$を求めよ。

1. 問題の内容

箱の中に1が書かれたカードが2枚、2が書かれたカードが1枚、4が書かれたカードが1枚入っている。この中からカードを1枚ずつ元に戻さずに2枚続けて引くとき、偶数のカードを引く回数を$X$とする。このとき、確率変数$Y = -5X + 12$の期待値$E(Y)$と標準偏差$\sigma(Y)$を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$X$の取りうる値は0, 1, 2である。それぞれの確率を計算する。

* $X=0$となるのは、2枚とも奇数のカードを引く場合である。奇数のカードは1が書かれた2枚なので、確率は$\frac{2}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$

* $X=1$となるのは、1枚だけ偶数のカードを引く場合である。1枚目に偶数、2枚目に奇数を引く場合と、1枚目に奇数、2枚目に偶数を引く場合がある。

* 1枚目に偶数、2枚目に奇数の場合は、$\frac{2}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

* 1枚目に奇数、2枚目に偶数の場合は、$\frac{2}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

よって、$X=1$となる確率は$\frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

* $X=2$となるのは、2枚とも偶数のカードを引く場合である。偶数のカードは2と4の2枚なので、確率は$\frac{2}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$

$X$の確率分布は以下のようになる。

$P(X=0) = \frac{1}{6}$

$P(X=1) = \frac{2}{3}$

$P(X=2) = \frac{1}{6}$

$X$の期待値$E(X)$は、

$E(X) = 0 \times \frac{1}{6} + 1 \times \frac{2}{3} + 2 \times \frac{1}{6} = 0 + \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = 1$

$X^2$の期待値$E(X^2)$は、

$E(X^2) = 0^2 \times \frac{1}{6} + 1^2 \times \frac{2}{3} + 2^2 \times \frac{1}{6} = 0 + \frac{2}{3} + \frac{4}{6} = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$

$X$の分散$V(X)$は、

$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \frac{4}{3} - 1^2 = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}$

$X$の標準偏差$\sigma(X)$は、

$\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$Y = -5X + 12$の期待値$E(Y)$は、

$E(Y) = E(-5X + 12) = -5E(X) + 12 = -5 \times 1 + 12 = -5 + 12 = 7$

$Y = -5X + 12$の標準偏差$\sigma(Y)$は、

$\sigma(Y) = \sigma(-5X + 12) = |-5|\sigma(X) = 5 \times \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{5\sqrt{3}}{3}$

3. 最終的な答え

期待値E(Y): 7

標準偏差σ(Y): $\frac{5\sqrt{3}}{3}$