2次方程式 $x^2 + (\sqrt{3} - 3)x + 2 - \sqrt{3} = 0$ の2つの解が $\tan\alpha$ と $\tan\beta$ であるとき、$\tan(\alpha + \beta)$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + (\sqrt{3} - 3)x + 2 - \sqrt{3} = 0$ の2つの解が $\tan\alpha$ と $\tan\beta$ であるとき、$\tan(\alpha + \beta)$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、2次方程式の解と係数の関係を利用します。$\tan\alpha$ と $\tan\beta$ が2次方程式の解なので、解と係数の関係より、

$$\tan\alpha + \tan\beta = -(\sqrt{3} - 3) = 3 - \sqrt{3}$$

$$\tan\alpha \tan\beta = 2 - \sqrt{3}$$

次に、$\tan(\alpha + \beta)$ の加法定理を利用します。

$$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha \tan\beta}$$

上記で求めた $\tan\alpha + \tan\beta$ と $\tan\alpha \tan\beta$ の値を代入します。

$$\tan(\alpha + \beta) = \frac{3 - \sqrt{3}}{1 - (2 - \sqrt{3})} = \frac{3 - \sqrt{3}}{1 - 2 + \sqrt{3}} = \frac{3 - \sqrt{3}}{-1 + \sqrt{3}}$$

分母を有理化するために、分母と分子に $-1 - \sqrt{3}$を掛けます。

$$\tan(\alpha + \beta) = \frac{(3 - \sqrt{3})(-1 - \sqrt{3})}{(-1 + \sqrt{3})(-1 - \sqrt{3})} = \frac{-3 - 3\sqrt{3} + \sqrt{3} + 3}{1 - 3} = \frac{-2\sqrt{3}}{-2} = \sqrt{3}$$

3. 最終的な答え

$\tan(\alpha + \beta) = \sqrt{3}$