1, 1, 2, 3, 4 の数字が書かれたカードがそれぞれ2枚、1枚、1枚、1枚ある。この中からカードを1枚ずつ元に戻さずに2枚続けて引くとき、偶数のカードを引く回数をXとする。確率変数Xの期待値 $E(X)$ は $\frac{4}{5}$、標準偏差 $\sigma(X)$ は $\frac{3}{5}$ である。確率変数 $Y = -5X + 12$ の期待値 $E(Y)$ と標準偏差 $\sigma(Y)$ を求めよ。

1. 問題の内容

1, 1, 2, 3, 4 の数字が書かれたカードがそれぞれ2枚、1枚、1枚、1枚ある。この中からカードを1枚ずつ元に戻さずに2枚続けて引くとき、偶数のカードを引く回数をXとする。確率変数Xの期待値 $E(X)$ は $\frac{4}{5}$、標準偏差 $\sigma(X)$ は $\frac{3}{5}$ である。確率変数 $Y = -5X + 12$ の期待値 $E(Y)$ と標準偏差 $\sigma(Y)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

確率変数 $Y = aX + b$ (a, bは定数) のとき、期待値 $E(Y)$ と標準偏差 $\sigma(Y)$ は以下のようになる。

$E(Y) = aE(X) + b$

$\sigma(Y) = |a|\sigma(X)$

$E(X) = \frac{4}{5}$, $\sigma(X) = \frac{3}{5}$, $Y = -5X + 12$ であるから、

$E(Y) = -5E(X) + 12 = -5 \cdot \frac{4}{5} + 12 = -4 + 12 = 8$

$\sigma(Y) = |-5|\sigma(X) = 5 \cdot \frac{3}{5} = 3$

3. 最終的な答え

期待値 E(Y): 8

標準偏差 σ(Y): 3