$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲において、以下の三角関数の方程式と不等式を解きます。 (1) $\sin 2\theta = \cos \theta$ (2) $\cos 2\theta = - \cos \theta$ (3) $\cos 2\theta - 5 \cos \theta + 3 = 0$ (4) $\sin 2\theta < \sin \theta$ (5) $\cos 2\theta + 9 \sin \theta + 4 < 0$ (6) $\cos 2\theta > \sin \theta$

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲において、以下の三角関数の方程式と不等式を解きます。

(1) $\sin 2\theta = \cos \theta$

(2) $\cos 2\theta = - \cos \theta$

(3) $\cos 2\theta - 5 \cos \theta + 3 = 0$

(4) $\sin 2\theta < \sin \theta$

(5) $\cos 2\theta + 9 \sin \theta + 4 < 0$

(6) $\cos 2\theta > \sin \theta$

2. 解き方の手順

(1) $\sin 2\theta = \cos \theta$

倍角の公式 $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ を用いると、

$2 \sin \theta \cos \theta = \cos \theta$

$2 \sin \theta \cos \theta - \cos \theta = 0$

$\cos \theta (2 \sin \theta - 1) = 0$

したがって、 $\cos \theta = 0$ または $\sin \theta = \frac{1}{2}$

$\cos \theta = 0$ のとき、$\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$

$\sin \theta = \frac{1}{2}$ のとき、$\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$

(2) $\cos 2\theta = - \cos \theta$

倍角の公式 $\cos 2\theta = 2 \cos^2 \theta - 1$ を用いると、

$2 \cos^2 \theta - 1 = - \cos \theta$

$2 \cos^2 \theta + \cos \theta - 1 = 0$

$(2 \cos \theta - 1)(\cos \theta + 1) = 0$

したがって、 $\cos \theta = \frac{1}{2}$ または $\cos \theta = -1$

$\cos \theta = \frac{1}{2}$ のとき、$\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$

$\cos \theta = -1$ のとき、$\theta = \pi$

(3) $\cos 2\theta - 5 \cos \theta + 3 = 0$

倍角の公式 $\cos 2\theta = 2 \cos^2 \theta - 1$ を用いると、

$2 \cos^2 \theta - 1 - 5 \cos \theta + 3 = 0$

$2 \cos^2 \theta - 5 \cos \theta + 2 = 0$

$(2 \cos \theta - 1)(\cos \theta - 2) = 0$

したがって、 $\cos \theta = \frac{1}{2}$ または $\cos \theta = 2$

$\cos \theta = \frac{1}{2}$ のとき、$\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$

$\cos \theta = 2$ となる $\theta$ は存在しない。

(4) $\sin 2\theta < \sin \theta$

倍角の公式 $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ を用いると、

$2 \sin \theta \cos \theta < \sin \theta$

$2 \sin \theta \cos \theta - \sin \theta < 0$

$\sin \theta (2 \cos \theta - 1) < 0$

$\sin \theta > 0$ のとき、$2 \cos \theta - 1 < 0$ つまり $\cos \theta < \frac{1}{2}$

このとき、 $0 < \theta < \pi$ であり、 $\frac{\pi}{3} < \theta < \frac{5\pi}{3}$ を満たす必要があるので、$\frac{\pi}{3} < \theta < \pi$

$\sin \theta < 0$ のとき、$2 \cos \theta - 1 > 0$ つまり $\cos \theta > \frac{1}{2}$

このとき、$\pi < \theta < 2\pi$ であり、 $0 \le \theta < \frac{\pi}{3}$ または $\frac{5\pi}{3} < \theta < 2\pi$ を満たす必要があるので、$\frac{5\pi}{3} < \theta < 2\pi$

$\sin \theta = 0$ のとき、$\theta = 0, \pi$ となるが、 $\sin \theta(2\cos \theta -1) < 0$ を満たさない。

したがって、 $\frac{\pi}{3} < \theta < \pi$ または $\frac{5\pi}{3} < \theta < 2\pi$

(5) $\cos 2\theta + 9 \sin \theta + 4 < 0$

$\cos 2\theta = 1 - 2 \sin^2 \theta$ を用いると、

$1 - 2 \sin^2 \theta + 9 \sin \theta + 4 < 0$

$-2 \sin^2 \theta + 9 \sin \theta + 5 < 0$

$2 \sin^2 \theta - 9 \sin \theta - 5 > 0$

$(2 \sin \theta + 1)(\sin \theta - 5) > 0$

したがって、 $\sin \theta < -\frac{1}{2}$ または $\sin \theta > 5$

$\sin \theta > 5$ となる $\theta$ は存在しない。

$\sin \theta < -\frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{7\pi}{6} < \theta < \frac{11\pi}{6}$

(6) $\cos 2\theta > \sin \theta$

$\cos 2\theta = 1 - 2 \sin^2 \theta$ を用いると、

$1 - 2 \sin^2 \theta > \sin \theta$

$2 \sin^2 \theta + \sin \theta - 1 < 0$

$(2 \sin \theta - 1)(\sin \theta + 1) < 0$

したがって、 $-1 < \sin \theta < \frac{1}{2}$

$\sin \theta > -1$ を満たすのは、 $\theta \ne \frac{3\pi}{2}$ のとき。

$\sin \theta < \frac{1}{2}$ を満たすのは、 $0 \le \theta < \frac{\pi}{6}$ または $\frac{5\pi}{6} < \theta < 2\pi$

よって、$0 \le \theta < \frac{\pi}{6}$ または $\frac{5\pi}{6} < \theta < \frac{3\pi}{2}$ または $\frac{3\pi}{2} < \theta < 2\pi$

3. 最終的な答え

(1) $\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}, \frac{3\pi}{2}$

(2) $\theta = \frac{\pi}{3}, \pi, \frac{5\pi}{3}$

(3) $\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$

(4) $\frac{\pi}{3} < \theta < \pi$ または $\frac{5\pi}{3} < \theta < 2\pi$

(5) $\frac{7\pi}{6} < \theta < \frac{11\pi}{6}$

(6) $0 \le \theta < \frac{\pi}{6}$ または $\frac{5\pi}{6} < \theta < \frac{3\pi}{2}$ または $\frac{3\pi}{2} < \theta < 2\pi$