1が書かれたカードが4枚、2が書かれたカードが3枚、4が書かれたカードが2枚、5が書かれたカードが1枚ある。この中から1枚引くときに出る数字を$X$とする。このとき、確率変数$Y=-5X+2$の期待値と標準偏差を求める。

1. 問題の内容

1が書かれたカードが4枚、2が書かれたカードが3枚、4が書かれたカードが2枚、5が書かれたカードが1枚ある。この中から1枚引くときに出る数字を$X$とする。このとき、確率変数$Y=-5X+2$の期待値と標準偏差を求める。

2. 解き方の手順

まず、$X$の確率分布を求める。カードの総数は$4+3+2+1 = 10$枚である。

$X=1$となる確率は$P(X=1) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

$X=2$となる確率は$P(X=2) = \frac{3}{10}$

$X=4$となる確率は$P(X=4) = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

$X=5$となる確率は$P(X=5) = \frac{1}{10}$

$X$の期待値$E(X)$は

$E(X) = 1 \cdot \frac{2}{5} + 2 \cdot \frac{3}{10} + 4 \cdot \frac{1}{5} + 5 \cdot \frac{1}{10} = \frac{4}{10} + \frac{6}{10} + \frac{8}{10} + \frac{5}{10} = \frac{23}{10} = 2.3$

$X^2$の期待値$E(X^2)$は

$E(X^2) = 1^2 \cdot \frac{2}{5} + 2^2 \cdot \frac{3}{10} + 4^2 \cdot \frac{1}{5} + 5^2 \cdot \frac{1}{10} = 1 \cdot \frac{4}{10} + 4 \cdot \frac{3}{10} + 16 \cdot \frac{2}{10} + 25 \cdot \frac{1}{10} = \frac{4}{10} + \frac{12}{10} + \frac{32}{10} + \frac{25}{10} = \frac{73}{10} = 7.3$

$X$の分散$V(X)$は

$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \frac{73}{10} - (\frac{23}{10})^2 = \frac{730}{100} - \frac{529}{100} = \frac{201}{100} = 2.01$

$X$の標準偏差$\sigma(X)$は

$\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{\frac{201}{100}} = \frac{\sqrt{201}}{10} \approx 1.4177$

$Y=-5X+2$の期待値$E(Y)$は

$E(Y) = E(-5X+2) = -5E(X)+2 = -5 \cdot \frac{23}{10} + 2 = -\frac{115}{10} + \frac{20}{10} = -\frac{95}{10} = -9.5$

$Y=-5X+2$の分散$V(Y)$は

$V(Y) = V(-5X+2) = (-5)^2 V(X) = 25 V(X) = 25 \cdot \frac{201}{100} = \frac{201}{4} = 50.25$

$Y=-5X+2$の標準偏差$\sigma(Y)$は

$\sigma(Y) = \sqrt{V(Y)} = \sqrt{\frac{201}{4}} = \frac{\sqrt{201}}{2} \approx \frac{14.177}{2} \approx 7.088$

3. 最終的な答え

期待値E(Y): -9.5

標準偏差σ(Y): 7.088