1から5までの数字が書かれたカードが複数枚あり、その中から1枚引くときの数字を確率変数 $X$ とします。$X$ の確率分布と期待値 $E(X) = \frac{23}{10}$ が与えられています。確率変数 $Y = -5X + 2$ の期待値と標準偏差を求めるために、$X$ の標準偏差を求める問題です。

1. 問題の内容

1から5までの数字が書かれたカードが複数枚あり、その中から1枚引くときの数字を確率変数 $X$ とします。$X$ の確率分布と期待値 $E(X) = \frac{23}{10}$ が与えられています。確率変数 $Y = -5X + 2$ の期待値と標準偏差を求めるために、$X$ の標準偏差を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、確率変数 $X$ の分散 $V(X)$ を求めます。分散は、$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$ で計算できます。$E(X)$ は問題文で与えられているので、$E(X^2)$ を計算します。

$E(X^2) = \sum_{i} x_i^2 P(X=x_i)$ より、

$E(X^2) = 1^2 \cdot \frac{4}{10} + 2^2 \cdot \frac{3}{10} + 4^2 \cdot \frac{2}{10} + 5^2 \cdot \frac{1}{10} = \frac{4}{10} + \frac{12}{10} + \frac{32}{10} + \frac{25}{10} = \frac{73}{10}$

したがって、$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \frac{73}{10} - \left(\frac{23}{10}\right)^2 = \frac{73}{10} - \frac{529}{100} = \frac{730 - 529}{100} = \frac{201}{100} = 2.01$

$X$ の標準偏差 $\sigma(X)$ は、分散の平方根なので、$\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{\frac{201}{100}} = \frac{\sqrt{201}}{10} \approx \frac{14.177}{10} \approx 1.4177$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{201}}{10}$