袋の中に、番号2の玉が3個、番号3の玉が3個、番号4の玉が2個、番号5の玉が2個入っている。この袋から玉を1個取り出すときに出る番号を$X$とする。確率変数$Y = -5X + 8$の期待値$E(Y)$と標準偏差$\sigma(Y)$を求めよ。

1. 問題の内容

袋の中に、番号2の玉が3個、番号3の玉が3個、番号4の玉が2個、番号5の玉が2個入っている。この袋から玉を1個取り出すときに出る番号を$X$とする。確率変数$Y = -5X + 8$の期待値$E(Y)$と標準偏差$\sigma(Y)$を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$X$の確率分布を求めます。袋の中の玉の総数は、$3 + 3 + 2 + 2 = 10$個です。

$P(X = 2) = \frac{3}{10}$

$P(X = 3) = \frac{3}{10}$

$P(X = 4) = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

$P(X = 5) = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

次に、$X$の期待値$E(X)$を計算します。

$E(X) = 2 \cdot \frac{3}{10} + 3 \cdot \frac{3}{10} + 4 \cdot \frac{2}{10} + 5 \cdot \frac{2}{10} = \frac{6 + 9 + 8 + 10}{10} = \frac{33}{10} = 3.3$

$Y = -5X + 8$なので、$E(Y) = -5E(X) + 8$となります。

$E(Y) = -5 \cdot 3.3 + 8 = -16.5 + 8 = -8.5$

次に、$X$の分散$V(X)$を計算します。

$E(X^2) = 2^2 \cdot \frac{3}{10} + 3^2 \cdot \frac{3}{10} + 4^2 \cdot \frac{2}{10} + 5^2 \cdot \frac{2}{10} = \frac{12 + 27 + 32 + 50}{10} = \frac{121}{10} = 12.1$

$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 12.1 - (3.3)^2 = 12.1 - 10.89 = 1.21$

$Y = -5X + 8$なので、$V(Y) = (-5)^2V(X) = 25V(X)$となります。

$V(Y) = 25 \cdot 1.21 = 30.25$

標準偏差$\sigma(Y)$は、分散$V(Y)$の平方根です。

$\sigma(Y) = \sqrt{V(Y)} = \sqrt{30.25} = 5.5$

3. 最終的な答え

期待値 E(Y): -8.5

標準偏差 σ(Y): 5.5