袋の中に番号2の玉が3個、番号3の玉が3個、番号4の玉が2個、番号5の玉が2個入っている。この袋から玉を1個取り出すときに出る番号をXとする。確率変数 $Y = -5X + 8$ の期待値と標準偏差を求めるに際し、確率変数Xの期待値を求めよ。

1. 問題の内容

袋の中に番号2の玉が3個、番号3の玉が3個、番号4の玉が2個、番号5の玉が2個入っている。この袋から玉を1個取り出すときに出る番号をXとする。確率変数 $Y = -5X + 8$ の期待値と標準偏差を求めるに際し、確率変数Xの期待値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、確率変数Xの確率分布を求める。袋の中には合計で $3+3+2+2=10$ 個の玉が入っている。Xは取り出した玉の番号を表すので、Xがとりうる値は2, 3, 4, 5である。それぞれの値をとる確率を計算する。

* $P(X=2) = \frac{3}{10}$

* $P(X=3) = \frac{3}{10}$

* $P(X=4) = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

* $P(X=5) = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

確率変数Xの期待値 $E(X)$ は、各値とその値をとる確率の積の和で求められる。

$E(X) = 2 \cdot P(X=2) + 3 \cdot P(X=3) + 4 \cdot P(X=4) + 5 \cdot P(X=5)$

$E(X) = 2 \cdot \frac{3}{10} + 3 \cdot \frac{3}{10} + 4 \cdot \frac{2}{10} + 5 \cdot \frac{2}{10}$

$E(X) = \frac{6}{10} + \frac{9}{10} + \frac{8}{10} + \frac{10}{10} = \frac{33}{10} = 3.3$

3. 最終的な答え

確率変数Xの期待値は $3.3$ である。