袋の中に番号2の玉が3個、番号3の玉が3個、番号4の玉が2個、番号5の玉が2個入っている。この袋から玉を1個取り出すときに出る番号を確率変数Xとする。Xの確率分布と期待値E(X)が与えられている。確率変数$Y = -5X + 8$の期待値と標準偏差を求めるに際し、確率変数Xの標準偏差を求める問題。

1. 問題の内容

袋の中に番号2の玉が3個、番号3の玉が3個、番号4の玉が2個、番号5の玉が2個入っている。この袋から玉を1個取り出すときに出る番号を確率変数Xとする。Xの確率分布と期待値E(X)が与えられている。確率変数$Y = -5X + 8$の期待値と標準偏差を求めるに際し、確率変数Xの標準偏差を求める問題。

2. 解き方の手順

まず、Xの分散$V(X)$を求める。

$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$

$E(X) = \frac{33}{10}$ は与えられているので、$E(X^2)$を求める。

$E(X^2) = 2^2 \cdot \frac{3}{10} + 3^2 \cdot \frac{3}{10} + 4^2 \cdot \frac{2}{10} + 5^2 \cdot \frac{2}{10}$

$= \frac{12}{10} + \frac{27}{10} + \frac{32}{10} + \frac{50}{10} = \frac{121}{10}$

$V(X) = \frac{121}{10} - (\frac{33}{10})^2 = \frac{1210}{100} - \frac{1089}{100} = \frac{121}{100}$

Xの標準偏差$\sigma(X)$は分散の平方根である。

$\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{\frac{121}{100}} = \frac{11}{10} = 1.1$

3. 最終的な答え

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