箱の中に青玉3個、赤玉3個、白玉3個が入っています。これらの玉を元に戻さずに1個ずつ2回取り出すとき、取り出された青玉の数を $X$ 、赤玉の数を $Y$ とします。 $X$ と $Y$ の同時分布を求める問題です。

1. 問題の内容

箱の中に青玉3個、赤玉3個、白玉3個が入っています。これらの玉を元に戻さずに1個ずつ2回取り出すとき、取り出された青玉の数を $X$ 、赤玉の数を $Y$ とします。 $X$ と $Y$ の同時分布を求める問題です。

2. 解き方の手順

$X$ と $Y$ はそれぞれ取り出される青玉と赤玉の数なので、$X$ と $Y$ はそれぞれ0, 1, 2の値をとり得ます。同時分布を求めるには、$X=x$ かつ $Y=y$ となる確率 $P(X=x, Y=y)$ を全ての組み合わせ $(x, y)$ に対して計算します。

全事象は、9個の玉から2個を取り出すので、${}_9 P_2 = 9 \times 8 = 72$ 通りです。

各 $(x, y)$ の組み合わせに対して、確率を計算します。

* $P(X=0, Y=0)$: 2個とも白玉を取り出す確率

白玉の取り出し方は $3 \times 2 = 6$ 通りなので、$P(X=0, Y=0) = \frac{6}{72} = \frac{1}{12}$

* $P(X=0, Y=1)$: 1個は赤玉、もう1個は白玉を取り出す確率

赤玉を最初に引き、次に白玉を引く場合は $3 \times 3 = 9$ 通り

白玉を最初に引き、次に赤玉を引く場合は $3 \times 3 = 9$ 通り

合計 $9+9 = 18$ 通りなので、$P(X=0, Y=1) = \frac{18}{72} = \frac{1}{4}$

* $P(X=0, Y=2)$: 2個とも赤玉を取り出す確率

赤玉の取り出し方は $3 \times 2 = 6$ 通りなので、$P(X=0, Y=2) = \frac{6}{72} = \frac{1}{12}$

* $P(X=1, Y=0)$: 1個は青玉、もう1個は白玉を取り出す確率

青玉を最初に引き、次に白玉を引く場合は $3 \times 3 = 9$ 通り

白玉を最初に引き、次に青玉を引く場合は $3 \times 3 = 9$ 通り

合計 $9+9 = 18$ 通りなので、$P(X=1, Y=0) = \frac{18}{72} = \frac{1}{4}$

* $P(X=1, Y=1)$: 1個は青玉、もう1個は赤玉を取り出す確率

青玉を最初に引き、次に赤玉を引く場合は $3 \times 3 = 9$ 通り

赤玉を最初に引き、次に青玉を引く場合は $3 \times 3 = 9$ 通り

合計 $9+9 = 18$ 通りなので、$P(X=1, Y=1) = \frac{18}{72} = \frac{1}{4}$

* $P(X=1, Y=2)$: 青玉1個、赤玉2個はありえないので $P(X=1, Y=2) = 0$

* $P(X=2, Y=0)$: 2個とも青玉を取り出す確率

青玉の取り出し方は $3 \times 2 = 6$ 通りなので、$P(X=2, Y=0) = \frac{6}{72} = \frac{1}{12}$

* $P(X=2, Y=1)$: 青玉2個、赤玉1個はありえないので $P(X=2, Y=1) = 0$

* $P(X=2, Y=2)$: 青玉2個、赤玉2個はありえないので $P(X=2, Y=2) = 0$

次に、周辺分布を計算します。

$P(X=0) = P(X=0, Y=0) + P(X=0, Y=1) + P(X=0, Y=2) = \frac{1}{12} + \frac{1}{4} + \frac{1}{12} = \frac{5}{12}$

$P(X=1) = P(X=1, Y=0) + P(X=1, Y=1) + P(X=1, Y=2) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + 0 = \frac{1}{2} = \frac{6}{12}$

$P(X=2) = P(X=2, Y=0) + P(X=2, Y=1) + P(X=2, Y=2) = \frac{1}{12} + 0 + 0 = \frac{1}{12}$

$P(Y=0) = P(X=0, Y=0) + P(X=1, Y=0) + P(X=2, Y=0) = \frac{1}{12} + \frac{1}{4} + \frac{1}{12} = \frac{5}{12}$

$P(Y=1) = P(X=0, Y=1) + P(X=1, Y=1) + P(X=2, Y=1) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + 0 = \frac{1}{2} = \frac{6}{12}$

$P(Y=2) = P(X=0, Y=2) + P(X=1, Y=2) + P(X=2, Y=2) = \frac{1}{12} + 0 + 0 = \frac{1}{12}$

3. 最終的な答え

| X/Y | 0 | 1 | 2 | 計 |

| --- | ----- | ----- | ----- | ----- |

| 0 | 1/12 | 1/4 | 1/12 | 5/12 |

| 1 | 1/4 | 1/4 | 0 | 6/12 |

| 2 | 1/12 | 0 | 0 | 1/12 |

| 計 | 5/12 | 6/12 | 1/12 | 1 |