袋の中に、番号2の玉が3個、番号3の玉が3個、番号4の玉が2個、番号5の玉が2個入っている。この袋から玉を1個取り出すときに出る番号をXとする。Xの期待値E(X)と標準偏差σ(X)はそれぞれ $E(X) = \frac{33}{10}$、$σ(X) = \frac{11}{10}$ である。確率変数 $Y = -5X + 8$ の期待値 E(Y)と標準偏差σ(Y)を求めよ。

1. 問題の内容

袋の中に、番号2の玉が3個、番号3の玉が3個、番号4の玉が2個、番号5の玉が2個入っている。この袋から玉を1個取り出すときに出る番号をXとする。Xの期待値E(X)と標準偏差σ(X)はそれぞれ $E(X) = \frac{33}{10}$、$σ(X) = \frac{11}{10}$ である。確率変数 $Y = -5X + 8$ の期待値 E(Y)と標準偏差σ(Y)を求めよ。

2. 解き方の手順

確率変数Yの期待値E(Y)と標準偏差σ(Y)を求める。

期待値の線形性から、

$E(Y) = E(-5X + 8) = -5E(X) + 8$

$E(X) = \frac{33}{10}$ を代入して

$E(Y) = -5 * \frac{33}{10} + 8 = -\frac{33}{2} + \frac{16}{2} = -\frac{17}{2} = -8.5$

標準偏差については、

$σ(Y) = σ(-5X + 8) = |-5|σ(X) = 5σ(X)$

$σ(X) = \frac{11}{10}$ を代入して

$σ(Y) = 5 * \frac{11}{10} = \frac{11}{2} = 5.5$

3. 最終的な答え

$E(Y) = -8.5$

$σ(Y) = 5.5$