袋の中に1等のくじが2本（賞金100円）、2等のくじが4本（賞金50円）、はずれくじが4本（賞金0円）入っている。この袋から1本くじを取り出したときの賞金を確率変数 $X$ とする。確率変数 $Y = 3X - 13$ の期待値 $E(Y)$ と標準偏差 $\sigma(Y)$ を求める。

1. 問題の内容

袋の中に1等のくじが2本（賞金100円）、2等のくじが4本（賞金50円）、はずれくじが4本（賞金0円）入っている。この袋から1本くじを取り出したときの賞金を確率変数 $X$ とする。確率変数 $Y = 3X - 13$ の期待値 $E(Y)$ と標準偏差 $\sigma(Y)$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、$X$ の確率分布を求めます。くじの本数の合計は $2 + 4 + 4 = 10$ 本です。

* $X = 100$（1等）となる確率は $P(X=100) = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

* $X = 50$（2等）となる確率は $P(X=50) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

* $X = 0$（はずれ）となる確率は $P(X=0) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

次に、$X$ の期待値 $E(X)$ を求めます。

$E(X) = 100 \cdot \frac{1}{5} + 50 \cdot \frac{2}{5} + 0 \cdot \frac{2}{5} = 20 + 20 + 0 = 40$

$Y = 3X - 13$ なので、$Y$ の期待値 $E(Y)$ は

$E(Y) = E(3X - 13) = 3E(X) - 13 = 3 \cdot 40 - 13 = 120 - 13 = 107$

次に、$X$ の分散 $V(X)$ を求めます。

$E(X^2) = 100^2 \cdot \frac{1}{5} + 50^2 \cdot \frac{2}{5} + 0^2 \cdot \frac{2}{5} = 10000 \cdot \frac{1}{5} + 2500 \cdot \frac{2}{5} + 0 = 2000 + 1000 = 3000$

$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 3000 - 40^2 = 3000 - 1600 = 1400$

$Y = 3X - 13$ なので、$Y$ の標準偏差 $\sigma(Y)$ は

$\sigma(Y) = \sqrt{V(Y)} = \sqrt{V(3X - 13)} = \sqrt{3^2 V(X)} = \sqrt{9 V(X)} = 3\sqrt{V(X)} = 3\sqrt{1400} = 3 \cdot 10 \sqrt{14} = 30\sqrt{14}$

3. 最終的な答え

期待値 $E(Y) = 107$

標準偏差 $\sigma(Y) = 30\sqrt{14}$