白玉4個、黒玉2個が入った袋から、玉を1個ずつ元に戻さずに2回続けて取り出すとき、白玉の出る回数を確率変数 $X$ とする。このとき、確率変数 $Y = -15X + 2$ の期待値 $E(Y)$ と標準偏差 $\sigma(Y)$ を求める。

1. 問題の内容

白玉4個、黒玉2個が入った袋から、玉を1個ずつ元に戻さずに2回続けて取り出すとき、白玉の出る回数を確率変数 $X$ とする。このとき、確率変数 $Y = -15X + 2$ の期待値 $E(Y)$ と標準偏差 $\sigma(Y)$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、確率変数 $X$ の確率分布を求める。

$X$ は白玉が出る回数なので、取りうる値は $X = 0, 1, 2$。

- $X = 0$ (2回とも黒玉):

確率は $P(X=0) = \frac{2}{6} \times \frac{1}{5} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$

- $X = 1$ (1回白玉、1回黒玉):

確率は $P(X=1) = \frac{4}{6} \times \frac{2}{5} + \frac{2}{6} \times \frac{4}{5} = \frac{8}{30} + \frac{8}{30} = \frac{16}{30} = \frac{8}{15}$

- $X = 2$ (2回とも白玉):

確率は $P(X=2) = \frac{4}{6} \times \frac{3}{5} = \frac{12}{30} = \frac{2}{5} = \frac{6}{15}$

次に、$X$ の期待値 $E(X)$ と分散 $V(X)$ を求める。

$E(X) = 0 \times \frac{1}{15} + 1 \times \frac{8}{15} + 2 \times \frac{6}{15} = 0 + \frac{8}{15} + \frac{12}{15} = \frac{20}{15} = \frac{4}{3}$

$E(X^2) = 0^2 \times \frac{1}{15} + 1^2 \times \frac{8}{15} + 2^2 \times \frac{6}{15} = 0 + \frac{8}{15} + \frac{24}{15} = \frac{32}{15}$

$V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{32}{15} - (\frac{4}{3})^2 = \frac{32}{15} - \frac{16}{9} = \frac{96 - 80}{45} = \frac{16}{45}$

$Y = -15X + 2$ なので、

$E(Y) = E(-15X + 2) = -15E(X) + 2 = -15 \times \frac{4}{3} + 2 = -20 + 2 = -18$

$V(Y) = V(-15X + 2) = (-15)^2 V(X) = 225 \times \frac{16}{45} = 5 \times 16 = 80$

$\sigma(Y) = \sqrt{V(Y)} = \sqrt{80} = \sqrt{16 \times 5} = 4\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

期待値 $E(Y) = -18$

標準偏差 $\sigma(Y) = 4\sqrt{5}$