1から4の数字が書かれたカードがそれぞれ4枚、3枚、2枚、1枚ある。 この10枚のカードから2枚を続けて引く（元に戻さない）。 偶数のカードを引く回数を確率変数 $X$ とする。 このとき、確率変数 $Y = -30X + 2$ の期待値 $E(Y)$ と標準偏差 $\sigma(Y)$ を求める。

1. 問題の内容

1から4の数字が書かれたカードがそれぞれ4枚、3枚、2枚、1枚ある。

この10枚のカードから2枚を続けて引く（元に戻さない）。

偶数のカードを引く回数を確率変数 $X$ とする。

このとき、確率変数 $Y = -30X + 2$ の期待値 $E(Y)$ と標準偏差 $\sigma(Y)$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、$X$ がとりうる値を考える。2枚引くので、$X=0, 1, 2$ である。

次に、$X$ の確率分布を求める。

全事象は ${}_{10}P_2 = 10 \times 9 = 90$ 通り。

* $X=0$ (2枚とも奇数)の場合:

奇数のカードは1と3で、合計 $4+2=6$ 枚ある。

確率は $P(X=0) = \frac{{}_6P_2}{90} = \frac{6 \times 5}{90} = \frac{30}{90} = \frac{1}{3}$.

* $X=1$ (1枚が偶数、1枚が奇数)の場合:

偶数のカードは2と4で、合計 $3+1=4$ 枚ある。

確率は $P(X=1) = \frac{{}_6P_1 \times {}_4P_1 + {}_4P_1 \times {}_6P_1}{90} = \frac{6 \times 4 + 4 \times 6}{90} = \frac{24 + 24}{90} = \frac{48}{90} = \frac{8}{15}$.

* $X=2$ (2枚とも偶数)の場合:

確率は $P(X=2) = \frac{{}_4P_2}{90} = \frac{4 \times 3}{90} = \frac{12}{90} = \frac{2}{15}$.

確率の合計を確認する: $\frac{1}{3} + \frac{8}{15} + \frac{2}{15} = \frac{5+8+2}{15} = \frac{15}{15} = 1$

$X$ の期待値を計算する:

$E(X) = 0 \times \frac{1}{3} + 1 \times \frac{8}{15} + 2 \times \frac{2}{15} = \frac{8}{15} + \frac{4}{15} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}$.

$Y = -30X + 2$ の期待値は、

$E(Y) = E(-30X + 2) = -30E(X) + 2 = -30 \times \frac{4}{5} + 2 = -24 + 2 = -22$.

$X^2$ の期待値を計算する:

$E(X^2) = 0^2 \times \frac{1}{3} + 1^2 \times \frac{8}{15} + 2^2 \times \frac{2}{15} = \frac{8}{15} + \frac{8}{15} = \frac{16}{15}$.

$X$ の分散を計算する:

$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \frac{16}{15} - (\frac{4}{5})^2 = \frac{16}{15} - \frac{16}{25} = \frac{80-48}{75} = \frac{32}{75}$.

$Y$ の標準偏差を計算する:

$V(Y) = V(-30X + 2) = (-30)^2 V(X) = 900 \times \frac{32}{75} = 12 \times 32 = 384$.

$\sigma(Y) = \sqrt{V(Y)} = \sqrt{384} = \sqrt{64 \times 6} = 8\sqrt{6}$.

3. 最終的な答え

期待値 E(Y): -22

標準偏差 $\sigma(Y)$: $8\sqrt{6}$