4個の青玉と2個の赤玉が入った箱から、玉を戻さずに1個ずつ2回取り出すとき、取り出された青玉の数をX、赤玉の数をYとする。XとYの同時分布を求め、表を完成させる問題です。

1. 問題の内容

4個の青玉と2個の赤玉が入った箱から、玉を戻さずに1個ずつ2回取り出すとき、取り出された青玉の数をX、赤玉の数をYとする。XとYの同時分布を求め、表を完成させる問題です。

2. 解き方の手順

まず、XとYが取りうる値を考えます。

Xは青玉の数なので、0, 1, 2のいずれかを取り、Yは赤玉の数なので、0, 1, 2のいずれかを取ります。ただし、X+Y=2なので、X=0のときY=2, X=1のときY=1, X=2のときY=0となります。

次に、それぞれの確率を計算します。全体の場合の数は、6個の玉から2個を取り出す組み合わせなので、

$_{6}C_{2} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$ 通りです。

(1) X=0, Y=2の場合：2個とも赤玉を取り出す確率です。

2個の赤玉から2個を選ぶ組み合わせは $_{2}C_{2}=1$通りなので、確率は $\frac{1}{15}$。

(2) X=1, Y=1の場合：青玉1個と赤玉1個を取り出す確率です。

4個の青玉から1個、2個の赤玉から1個を選ぶ組み合わせは $_{4}C_{1} \times _{2}C_{1} = 4 \times 2 = 8$通りなので、確率は $\frac{8}{15}$。

(3) X=2, Y=0の場合：2個とも青玉を取り出す確率です。

4個の青玉から2個を選ぶ組み合わせは $_{4}C_{2} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$通りなので、確率は $\frac{6}{15} = \frac{2}{5}$。

最後に、周辺確率を計算します。

Xの周辺確率：

P(X=0) = 1/15

P(X=1) = 8/15

P(X=2) = 6/15 = 2/5

Yの周辺確率：

P(Y=0) = 6/15 = 2/5

P(Y=1) = 8/15

P(Y=2) = 1/15

表にこれらの値を記入します。

3. 最終的な答え

| X/Y | 0 | 1 | 2 | 計 |

|-----|-------|-------|-------|-------|

| 0 | 0 | 0 | 1/15 | 1/15 |

| 1 | 0 | 8/15 | 0 | 8/15 |

| 2 | 6/15=2/5 | 0 | 0 | 6/15=2/5 |

| 計 | 6/15=2/5 | 8/15 | 1/15 | 1 |