4個の青玉と2個の赤玉が入っている箱から、玉を戻さずに1個ずつ2回取り出すとき、取り出された青玉の数を $X$、赤玉の数を $Y$ とする。$X$ と $Y$ の同時分布を求める。

1. 問題の内容

4個の青玉と2個の赤玉が入っている箱から、玉を戻さずに1個ずつ2回取り出すとき、取り出された青玉の数を $X$、赤玉の数を $Y$ とする。$X$ と $Y$ の同時分布を求める。

2. 解き方の手順

まず、$X$ と $Y$ が取りうる値を考えます。2回玉を取り出すので、$X+Y=2$ が成り立ちます。$X$ は青玉の数なので0, 1, 2のいずれかの値をとり、$Y$ は赤玉の数なので0, 1, 2のいずれかの値をとりえます。

ただし、$X+Y=2$ であるため、$X=0$ のとき $Y=2$, $X=1$ のとき $Y=1$, $X=2$ のとき $Y=0$ となります。

次に、それぞれの確率を計算します。全事象は 6個の玉から2個を取り出すので、$_6C_2 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$ 通りです。

* $X=0, Y=2$ のとき：2回とも赤玉を取り出すので、確率は $\frac{_2C_2}{_{6}C_2} = \frac{1}{15}$

* $X=1, Y=1$ のとき：1回青玉、1回赤玉を取り出すので、確率は $\frac{_4C_1 \times _2C_1}{_{6}C_2} = \frac{4 \times 2}{15} = \frac{8}{15}$

* $X=2, Y=0$ のとき：2回とも青玉を取り出すので、確率は $\frac{_4C_2}{_{6}C_2} = \frac{\frac{4 \times 3}{2 \times 1}}{15} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$

最後に、周辺確率を計算します。

* $X=0$ の確率：$\frac{1}{15}$

* $X=1$ の確率：$\frac{8}{15}$

* $X=2$ の確率：$\frac{2}{5} = \frac{6}{15}$

* $Y=0$ の確率：$\frac{6}{15} = \frac{2}{5}$

* $Y=1$ の確率：$\frac{8}{15}$

* $Y=2$ の確率：$\frac{1}{15}$

3. 最終的な答え

| X/Y | 0 | 1 | 2 | 計 |

|-----|-------|-------|-------|--------|

| 0 | 0 | 0 | 1/15 | 1/15 |

| 1 | 0 | 8/15 | 0 | 8/15 |

| 2 | 6/15 | 0 | 0 | 6/15 |

| 計 | 6/15 | 8/15 | 1/15 | 15/15=1 |