3個の黒玉と6個の白玉が入っている箱がある。Aさんが2つ玉を取り、残った玉からBさんが1つ玉を取るとき、AさんとBさんの黒玉の数をそれぞれ$X$、$Y$とする。$X$と$Y$の同時分布を求めよ。

1. 問題の内容

3個の黒玉と6個の白玉が入っている箱がある。Aさんが2つ玉を取り、残った玉からBさんが1つ玉を取るとき、AさんとBさんの黒玉の数をそれぞれ$X$、$Y$とする。$X$と$Y$の同時分布を求めよ。

2. 解き方の手順

$X$はAさんが取り出した黒玉の個数なので、$X = 0, 1, 2$である。

$Y$はBさんが取り出した黒玉の個数なので、$Y = 0, 1$である。

同時確率分布 $P(X=x, Y=y)$ を求める。

箱の中には合計9個の玉が入っている。

(i) $X = 0$の場合: Aさんが白玉を2個取り出す確率は $\frac{{}_6C_2}{{}_9C_2} = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$ である。

- $Y = 0$の場合: Bさんが白玉を取り出す確率は $\frac{4}{7}$ である。

$P(X=0, Y=0) = \frac{5}{12} \cdot \frac{4}{7} = \frac{20}{84} = \frac{5}{21}$

- $Y = 1$の場合: Bさんが黒玉を取り出す確率は $\frac{3}{7}$ である。

$P(X=0, Y=1) = \frac{5}{12} \cdot \frac{3}{7} = \frac{15}{84} = \frac{5}{28}$

(ii) $X = 1$の場合: Aさんが黒玉1個と白玉1個を取り出す確率は $\frac{{}_3C_1 \cdot {}_6C_1}{{}_9C_2} = \frac{3 \cdot 6}{36} = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$ である。

- $Y = 0$の場合: Bさんが白玉を取り出す確率は $\frac{5}{7}$ である。

$P(X=1, Y=0) = \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{7} = \frac{5}{14}$

- $Y = 1$の場合: Bさんが黒玉を取り出す確率は $\frac{2}{7}$ である。

$P(X=1, Y=1) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{7} = \frac{1}{7}$

(iii) $X = 2$の場合: Aさんが黒玉を2個取り出す確率は $\frac{{}_3C_2}{{}_9C_2} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$ である。

- $Y = 0$の場合: Bさんが白玉を取り出す確率は $\frac{6}{7}$ である。

$P(X=2, Y=0) = \frac{1}{12} \cdot \frac{6}{7} = \frac{6}{84} = \frac{1}{14}$

- $Y = 1$の場合: Bさんが黒玉を取り出す確率は $\frac{1}{7}$ である。

$P(X=2, Y=1) = \frac{1}{12} \cdot \frac{1}{7} = \frac{1}{84}$

周辺確率を計算する。

$P(X=0) = P(X=0, Y=0) + P(X=0, Y=1) = \frac{5}{21} + \frac{5}{28} = \frac{20+15}{84} = \frac{35}{84} = \frac{5}{12}$

$P(X=1) = P(X=1, Y=0) + P(X=1, Y=1) = \frac{5}{14} + \frac{1}{7} = \frac{5+2}{14} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2}$

$P(X=2) = P(X=2, Y=0) + P(X=2, Y=1) = \frac{1}{14} + \frac{1}{84} = \frac{6+1}{84} = \frac{7}{84} = \frac{1}{12}$

$P(Y=0) = P(X=0, Y=0) + P(X=1, Y=0) + P(X=2, Y=0) = \frac{5}{21} + \frac{5}{14} + \frac{1}{14} = \frac{10+15+3}{42} = \frac{28}{42} = \frac{2}{3}$

$P(Y=1) = P(X=0, Y=1) + P(X=1, Y=1) + P(X=2, Y=1) = \frac{5}{28} + \frac{1}{7} + \frac{1}{84} = \frac{15+12+1}{84} = \frac{28}{84} = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

| X/Y | 0 | 1 | 計 |

|-----|------|------|------|

| 0 | 5/21 | 5/28 | 5/12 |

| 1 | 5/14 | 1/7 | 1/2 |

| 2 | 1/14 | 1/84 | 1/12 |

| 計 | 2/3 | 1/3 | 1 |