3個の青玉、3個の赤玉、3個の白玉が入っている箱から、玉を戻さずに1個ずつ2回取り出す。取り出された青玉の数を $X$、赤玉の数を $Y$ とするとき、$X$ と $Y$ の同時分布を求める。

1. 問題の内容

3個の青玉、3個の赤玉、3個の白玉が入っている箱から、玉を戻さずに1個ずつ2回取り出す。取り出された青玉の数を $X$、赤玉の数を $Y$ とするとき、$X$ と $Y$ の同時分布を求める。

2. 解き方の手順

まず、2回玉を取り出すので、考えられる $X$ と $Y$ の値は、それぞれ0, 1, 2である。

$X=x$、$Y=y$ となる確率を $P(X=x, Y=y)$ とする。

全事象は、9個から2個を取り出すので、 ${}_9 P_2 = 9 \times 8 = 72$ 通りである。

(i) $P(X=0, Y=0)$:

2回とも白玉を取り出す場合。

確率は、$\frac{3}{9} \times \frac{2}{8} = \frac{6}{72} = \frac{1}{12}$

(ii) $P(X=0, Y=1)$:

1回目に白玉、2回目に赤玉を取り出す場合と、1回目に赤玉、2回目に白玉を取り出す場合がある。

確率は、$\frac{3}{9} \times \frac{3}{8} + \frac{3}{9} \times \frac{3}{8} = \frac{9}{72} + \frac{9}{72} = \frac{18}{72} = \frac{1}{4}$

(iii) $P(X=0, Y=2)$:

2回とも赤玉を取り出す場合。

確率は、$\frac{3}{9} \times \frac{2}{8} = \frac{6}{72} = \frac{1}{12}$

(iv) $P(X=1, Y=0)$:

1回目に白玉、2回目に青玉を取り出す場合と、1回目に青玉、2回目に白玉を取り出す場合がある。

確率は、$\frac{3}{9} \times \frac{3}{8} + \frac{3}{9} \times \frac{3}{8} = \frac{9}{72} + \frac{9}{72} = \frac{18}{72} = \frac{1}{4}$

(v) $P(X=1, Y=1)$:

1回目に青玉、2回目に赤玉を取り出す場合、1回目に赤玉、2回目に青玉を取り出す場合、1回目に青玉、2回目に赤玉を取り出す場合が考えられる。

確率は、$\frac{3}{9} \times \frac{3}{8} + \frac{3}{9} \times \frac{3}{8} = \frac{18}{72} = \frac{1}{4}$

(vi) $P(X=1, Y=2)$は起こりえない。

(vii) $P(X=2, Y=0)$:

2回とも青玉を取り出す場合。

確率は、$\frac{3}{9} \times \frac{2}{8} = \frac{6}{72} = \frac{1}{12}$

(viii) $P(X=2, Y=1)$は起こりえない。

(ix) $P(X=2, Y=2)$は起こりえない。

(x) $P(X=0, Y=0)+P(X=0, Y=1)+P(X=0, Y=2)+P(X=1, Y=0)+P(X=1, Y=1)+P(X=2, Y=0)=1$を確認すると、$\frac{1}{12} + \frac{1}{4} + \frac{1}{12} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{12} = \frac{3+9+3+18+18+3}{36} = \frac{54}{72} = \frac{3}{4} \neq 1$となり、計算が間違っている。

$2回玉を取り出すので、確率は72ではなく、全事象は${}_9 C_2 = \frac{9 \times 8}{2} = 36$ 通りである。

(i) $P(X=0, Y=0)$: 2回とも白玉。

確率は、$\frac{{}_3 C_2}{{}_9 C_2} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$

(ii) $P(X=0, Y=1)$: 白玉1回、赤玉1回。

確率は、$\frac{{}_3 C_1 \times {}_3 C_1}{{}_9 C_2} = \frac{3 \times 3}{36} = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$

(iii) $P(X=0, Y=2)$: 2回とも赤玉。

確率は、$\frac{{}_3 C_2}{{}_9 C_2} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$

(iv) $P(X=1, Y=0)$: 青玉1回、白玉1回。

確率は、$\frac{{}_3 C_1 \times {}_3 C_1}{{}_9 C_2} = \frac{3 \times 3}{36} = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$

(v) $P(X=1, Y=1)$: 青玉1回、赤玉1回。

確率は、$\frac{{}_3 C_1 \times {}_3 C_1}{{}_9 C_2} = \frac{3 \times 3}{36} = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$

(vi) $P(X=1, Y=2)$: ありえない。確率0。

(vii) $P(X=2, Y=0)$: 2回とも青玉。

確率は、$\frac{{}_3 C_2}{{}_9 C_2} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$

(viii) $P(X=2, Y=1)$: ありえない。確率0。

(ix) $P(X=2, Y=2)$: ありえない。確率0。

(x) $P(X=0, Y=0)+P(X=0, Y=1)+P(X=0, Y=2)+P(X=1, Y=0)+P(X=1, Y=1)+P(X=2, Y=0)=\frac{3+9+3+9+9+3}{36}=\frac{36}{36}=1$

3. 最終的な答え

| X/Y | 0 | 1 | 2 | 計 |

|-----|--------|--------|--------|-------|

| 0 | 1/12 | 1/4 | 1/12 | 1/3 |

| 1 | 1/4 | 1/4 | 0 | 1/2 |

| 2 | 1/12 | 0 | 0 | 1/12 |

| 計 | 1/3 | 1/2 | 1/12 | 1 |