箱の中に青玉3個、赤玉2個、白玉4個が入っている。この箱から玉を戻さずに1個ずつ2回取り出すとき、取り出された青玉の数をX、赤玉の数をYとする。XとYの同時分布を求め、表を完成させる。

1. 問題の内容

箱の中に青玉3個、赤玉2個、白玉4個が入っている。この箱から玉を戻さずに1個ずつ2回取り出すとき、取り出された青玉の数をX、赤玉の数をYとする。XとYの同時分布を求め、表を完成させる。

2. 解き方の手順

まず、取り出す玉の総数は3+2+4 = 9個である。2個取り出すので、全部の場合の数は $_9C_2 = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36$通りとなる。

Xは青玉の個数なので、Xが取りうる値は0, 1, 2である。

Yは赤玉の個数なので、Yが取りうる値は0, 1, 2である。

XとYの同時分布を求める。

P(X=x, Y=y) = (X=xかつY=yとなる場合の数) / (すべての取り出し方の場合の数) = (X=xかつY=yとなる場合の数) / 36

* P(X=0, Y=0): 2回とも白玉を取り出す確率。

$\frac{_4C_2}{36} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$

* P(X=0, Y=1): 1回が白玉、1回が赤玉を取り出す確率。

$\frac{_4C_1 \times _2C_1}{36} = \frac{4 \times 2}{36} = \frac{8}{36} = \frac{2}{9}$

* P(X=0, Y=2): 2回とも赤玉を取り出す確率。

$\frac{_2C_2}{36} = \frac{1}{36}$

* P(X=1, Y=0): 1回が青玉、1回が白玉を取り出す確率。

$\frac{_3C_1 \times _4C_1}{36} = \frac{3 \times 4}{36} = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}$

* P(X=1, Y=1): 1回が青玉、1回が赤玉を取り出す確率。

$\frac{_3C_1 \times _2C_1}{36} = \frac{3 \times 2}{36} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$

* P(X=1, Y=2): 0 （赤玉が2個しかないのでありえない。）

* P(X=2, Y=0): 2回とも青玉を取り出す確率。

$\frac{_3C_2}{36} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$

* P(X=2, Y=1): 0 (青玉と赤玉がそれぞれ1個ずつなのでありえない。)

* P(X=2, Y=2): 0（ありえない。）

周辺分布も計算する。

P(X=0) = P(X=0, Y=0) + P(X=0, Y=1) + P(X=0, Y=2) = 6/36 + 8/36 + 1/36 = 15/36 = 5/12

P(X=1) = P(X=1, Y=0) + P(X=1, Y=1) + P(X=1, Y=2) = 12/36 + 6/36 + 0 = 18/36 = 1/2

P(X=2) = P(X=2, Y=0) + P(X=2, Y=1) + P(X=2, Y=2) = 3/36 + 0 + 0 = 3/36 = 1/12

P(Y=0) = P(X=0, Y=0) + P(X=1, Y=0) + P(X=2, Y=0) = 6/36 + 12/36 + 3/36 = 21/36 = 7/12

P(Y=1) = P(X=0, Y=1) + P(X=1, Y=1) + P(X=2, Y=1) = 8/36 + 6/36 + 0 = 14/36 = 7/18

P(Y=2) = P(X=0, Y=2) + P(X=1, Y=2) + P(X=2, Y=2) = 1/36 + 0 + 0 = 1/36

3. 最終的な答え

| X/Y | 0 | 1 | 2 | 計 |

| ----- | ----- | ----- | ----- | ----- |

| 0 | 1/6 | 2/9 | 1/36 | 5/12 |

| 1 | 1/3 | 1/6 | 0 | 1/2 |

| 2 | 1/12 | 0 | 0 | 1/12 |

| 計 | 7/12 | 7/18 | 1/36 | 1 |