箱の中に青玉4個、赤玉3個、白玉2個が入っています。この箱から玉を1個ずつ2回取り出すとき（取り出した玉は戻さない）、取り出された青玉の数をX、赤玉の数をYとします。XとYの同時分布を求め、表を完成させます。

1. 問題の内容

箱の中に青玉4個、赤玉3個、白玉2個が入っています。この箱から玉を1個ずつ2回取り出すとき（取り出した玉は戻さない）、取り出された青玉の数をX、赤玉の数をYとします。XとYの同時分布を求め、表を完成させます。

2. 解き方の手順

まず、XとYが取りうる値を考えます。

Xは青玉の数なので0, 1, 2のいずれかの値をとりえます。

Yは赤玉の数なので0, 1, 2のいずれかの値をとりえます。

合計9個の玉から2個取り出すので、全部の場合の数は ${}_9 C_2 = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36$ です。

次に、各X, Yの組み合わせについて確率を計算します。

* X=0, Y=0 のとき：2個とも白玉を取り出すので、${}_2 C_2 = 1$通り。確率は $1/36$。

* X=0, Y=1 のとき：白玉1個、赤玉1個を取り出すので、${}_2 C_1 \times {}_3 C_1 = 2 \times 3 = 6$通り。確率は $6/36 = 1/6$。

* X=0, Y=2 のとき：2個とも赤玉を取り出すので、${}_3 C_2 = 3$通り。確率は $3/36 = 1/12$。

* X=1, Y=0 のとき：青玉1個、白玉1個を取り出すので、${}_4 C_1 \times {}_2 C_1 = 4 \times 2 = 8$通り。確率は $8/36 = 2/9$。

* X=1, Y=1 のとき：青玉1個、赤玉1個を取り出すので、${}_4 C_1 \times {}_3 C_1 = 4 \times 3 = 12$通り。確率は $12/36 = 1/3$。

* X=1, Y=2 のとき：青玉1個、赤玉2個を取り出すことはありえないので0通り。確率は $0/36 = 0$。

* X=2, Y=0 のとき：2個とも青玉を取り出すので、${}_4 C_2 = 6$通り。確率は $6/36 = 1/6$。

* X=2, Y=1 のとき：青玉2個、赤玉1個を取り出すことはありえないので0通り。確率は $0/36 = 0$。

* X=2, Y=2 のとき：青玉2個、赤玉2個を取り出すことはありえないので0通り。確率は $0/36 = 0$。

最後に、各Xに対するYの確率の合計(周辺分布)を計算します。

* X=0のとき： $1/36 + 1/6 + 1/12 = 1/36 + 6/36 + 3/36 = 10/36 = 5/18$

* X=1のとき： $2/9 + 1/3 + 0 = 8/36 + 12/36 = 20/36 = 5/9$

* X=2のとき： $1/6 + 0 + 0 = 1/6 = 6/36$

* Y=0のとき： $1/36 + 2/9 + 1/6 = 1/36 + 8/36 + 6/36 = 15/36 = 5/12$

* Y=1のとき： $1/6 + 1/3 + 0 = 6/36 + 12/36 = 18/36 = 1/2$

* Y=2のとき： $1/12 + 0 + 0 = 1/12 = 3/36$

3. 最終的な答え

X/Y | 0 | 1 | 2 | 計

------- | -------- | -------- | -------- | --------

0 | 1/36 | 1/6 | 1/12 | 5/18

1 | 2/9 | 1/3 | 0 | 5/9

2 | 1/6 | 0 | 0 | 1/6

計 | 5/12 | 1/2 | 1/12 | 1