与えられた3次方程式 $x^3 + 64 = 0$ を解きます。

1. 問題の内容

与えられた3次方程式 $x^3 + 64 = 0$ を解きます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた方程式を因数分解します。

$x^3 + 64 = x^3 + 4^3$ と見ることができ、$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ という因数分解の公式を利用します。

この公式に $a = x$ と $b = 4$ を代入すると、

$x^3 + 4^3 = (x+4)(x^2 - 4x + 16)$ となります。

したがって、与えられた方程式は

$(x+4)(x^2 - 4x + 16) = 0$ と書き換えられます。

これにより、$x+4 = 0$ または $x^2 - 4x + 16 = 0$ となります。

$x+4 = 0$ から、$x = -4$ が得られます。

次に、$x^2 - 4x + 16 = 0$ を解きます。これは2次方程式なので、解の公式を利用します。

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

ここで、$a = 1$, $b = -4$, $c = 16$ なので、

$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(16)}}{2(1)}$

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2}$

$x = \frac{4 \pm \sqrt{-48}}{2}$

$x = \frac{4 \pm \sqrt{48}i}{2}$

$x = \frac{4 \pm 4\sqrt{3}i}{2}$

$x = 2 \pm 2\sqrt{3}i$

3. 最終的な答え

したがって、方程式 $x^3 + 64 = 0$ の解は、

$x = -4$, $x = 2 + 2\sqrt{3}i$, $x = 2 - 2\sqrt{3}i$

となります。