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問題は、以下の2つの行列式を計算することと、別の行列式を因数分解することです。 (1) $\begin{vmatrix} 5 & 3 & 4 & -6 \\ -3 & -5 & -5 & -4 \\ 1 & 2 & 1 & 5 \\ 2 & 3 & 3 & 1 \end{vmatrix}$ (2) $\begin{vmatrix} 2 & 1 & -4 & -5 \\ 3 & 6 & 1 & -6 \\ -2 & -7 & -4 & 3 \\ 1 & 8 & 1 & -4 \end{vmatrix}$ (3) $\begin{vmatrix} x & y & x & x \\ x & y & y & y \\ y & y & y & x \\ x & x & y & x \end{vmatrix}$ を因数分解せよ。

代数学行列式行列式の計算因数分解
2025/6/24

1. 問題の内容

問題は、以下の2つの行列式を計算することと、別の行列式を因数分解することです。
(1)
∣534−6−3−5−5−412152331∣\begin{vmatrix} 5 & 3 & 4 & -6 \\ -3 & -5 & -5 & -4 \\ 1 & 2 & 1 & 5 \\ 2 & 3 & 3 & 1 \end{vmatrix}
(2)
∣21−4−5361−6−2−7−43181−4∣\begin{vmatrix} 2 & 1 & -4 & -5 \\ 3 & 6 & 1 & -6 \\ -2 & -7 & -4 & 3 \\ 1 & 8 & 1 & -4 \end{vmatrix}
(3)
∣xyxxxyyyyyyxxxyx∣\begin{vmatrix} x & y & x & x \\ x & y & y & y \\ y & y & y & x \\ x & x & y & x \end{vmatrix} を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

(1) の行列式を計算する手順：
行の変形を用いて計算します。
1行目と3行目を入れ替えます。
∣1215−3−5−5−4534−62331∣\begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 & 5 \\ -3 & -5 & -5 & -4 \\ 5 & 3 & 4 & -6 \\ 2 & 3 & 3 & 1 \end{vmatrix}
2行目に1行目の3倍を加えます。
3行目に1行目の-5倍を加えます。
4行目に1行目の-2倍を加えます。
∣121501−2110−7−1−310−11−9∣\begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 & 5 \\ 0 & 1 & -2 & 11 \\ 0 & -7 & -1 & -31 \\ 0 & -1 & 1 & -9 \end{vmatrix}
3行目に2行目の7倍を加えます。
4行目に2行目を加えます。
∣121501−21100−154600−12∣\begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 & 5 \\ 0 & 1 & -2 & 11 \\ 0 & 0 & -15 & 46 \\ 0 & 0 & -1 & 2 \end{vmatrix}
4行目に3行目の-1/15倍を加えます。
∣121501−21100−1546000−16/15∣\begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 & 5 \\ 0 & 1 & -2 & 11 \\ 0 & 0 & -15 & 46 \\ 0 & 0 & 0 & -16/15 \end{vmatrix}
対角成分の積を計算し、1行目と3行目を入れ替えたことによる符号を考慮します。
(2) の行列式を計算する手順：
行の変形を用いて計算します。
∣21−4−5361−6−2−7−43181−4∣\begin{vmatrix} 2 & 1 & -4 & -5 \\ 3 & 6 & 1 & -6 \\ -2 & -7 & -4 & 3 \\ 1 & 8 & 1 & -4 \end{vmatrix}
1行目と4行目を入れ替えます。
∣181−4361−6−2−7−4321−4−5∣\begin{vmatrix} 1 & 8 & 1 & -4 \\ 3 & 6 & 1 & -6 \\ -2 & -7 & -4 & 3 \\ 2 & 1 & -4 & -5 \end{vmatrix}
2行目に1行目の-3倍を加えます。
3行目に1行目の2倍を加えます。
4行目に1行目の-2倍を加えます。
∣181−40−18−2609−2−50−15−63∣\begin{vmatrix} 1 & 8 & 1 & -4 \\ 0 & -18 & -2 & 6 \\ 0 & 9 & -2 & -5 \\ 0 & -15 & -6 & 3 \end{vmatrix}
2行目に-1/2倍します。
∣181−4091−309−2−50−15−63∣\begin{vmatrix} 1 & 8 & 1 & -4 \\ 0 & 9 & 1 & -3 \\ 0 & 9 & -2 & -5 \\ 0 & -15 & -6 & 3 \end{vmatrix}
3行目に2行目の-1倍を加えます。
4行目に2行目の5/3倍を加えます。
∣181−4091−300−3−200−13/3−2∣\begin{vmatrix} 1 & 8 & 1 & -4 \\ 0 & 9 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & -3 & -2 \\ 0 & 0 & -13/3 & -2 \end{vmatrix}
4行目に3行目の-13/9倍を加えます。
∣181−4091−300−3−200020/9∣\begin{vmatrix} 1 & 8 & 1 & -4 \\ 0 & 9 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & -3 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 20/9 \end{vmatrix}
対角成分の積を計算し、1行目と4行目を入れ替えたことによる符号を考慮します。
(3) の行列式を因数分解する手順：
∣xyxxxyyyyyyxxxyx∣\begin{vmatrix} x & y & x & x \\ x & y & y & y \\ y & y & y & x \\ x & x & y & x \end{vmatrix}
1列目 + 2列目 + 3列目 + 4列目を1列目に加えます。
∣3x+yyxxx+3yyyyx+3yyyx3x+yxyx∣\begin{vmatrix} 3x+y & y & x & x \\ x+3y & y & y & y \\ x+3y & y & y & x \\ 3x+y & x & y & x \end{vmatrix}

2. 最終的な答え

(1) 50
(2) -120
(3) (x-y)^3(3x+y)

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