与えられた和 $\sum_{k=1}^{n} (3k^2 - 7k + 4)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた和 $\sum_{k=1}^{n} (3k^2 - 7k + 4)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、シグマの性質を利用して、和を分割します。

$$\sum_{k=1}^{n} (3k^2 - 7k + 4) = 3\sum_{k=1}^{n} k^2 - 7\sum_{k=1}^{n} k + 4\sum_{k=1}^{n} 1$$

次に、それぞれのシグマの公式を適用します。

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$

これらの公式を代入します。

$$3\sum_{k=1}^{n} k^2 - 7\sum_{k=1}^{n} k + 4\sum_{k=1}^{n} 1 = 3 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 7 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + 4n$$

$$= \frac{n(n+1)(2n+1)}{2} - \frac{7n(n+1)}{2} + 4n$$

共通因数 $n$ でくくります。

$$= n \left[ \frac{(n+1)(2n+1)}{2} - \frac{7(n+1)}{2} + 4 \right]$$

$$= n \left[ \frac{2n^2 + 3n + 1 - 7n - 7 + 8}{2} \right]$$

$$= n \left[ \frac{2n^2 - 4n + 2}{2} \right]$$

$$= n (n^2 - 2n + 1)$$

$$= n (n-1)^2$$

3. 最終的な答え

$n(n-1)^2$