与えられた2直線が、それぞれ平行であるか垂直であるかを判定する問題です。具体的には以下の4つの問題があります。 (1) $y=2x+3$, $y=2x-4$ (2) $y=3x+4$, $y=-\frac{1}{3}x+5$ (3) $5x-7y+2=0$, $7x+5y-6=0$ (4) $6x-4y+3=0$, $9x-6y+4=0$

## 問題6

1. **問題の内容**

与えられた2直線が、それぞれ平行であるか垂直であるかを判定する問題です。具体的には以下の4つの問題があります。

(1) $y=2x+3$, $y=2x-4$

(2) $y=3x+4$, $y=-\frac{1}{3}x+5$

(3) $5x-7y+2=0$, $7x+5y-6=0$

(4) $6x-4y+3=0$, $9x-6y+4=0$

2. **解き方の手順**

* **平行の条件:** 2直線の傾きが等しいとき、2直線は平行です。

* **垂直の条件:** 2直線の傾きの積が-1であるとき、2直線は垂直です。

各問題について、以下の手順で判定します。

(1) 2直線の傾きを比較する。傾きが等しい場合は平行、傾きの積が-1の場合は垂直、どちらでもない場合は平行でも垂直でもない。

(2) 一般形 $ax + by + c = 0$ の直線の場合、傾きは $-\frac{a}{b}$ で求められる。

**各問題の解答:**

(1)

$y=2x+3$ の傾きは2。$y=2x-4$ の傾きは2。

傾きが等しいので、平行。

(2)

$y=3x+4$ の傾きは3。$y=-\frac{1}{3}x+5$ の傾きは$-\frac{1}{3}$。

傾きの積は $3 \times (-\frac{1}{3}) = -1$ なので、垂直。

(3)

$5x-7y+2=0$ の傾きは $-\frac{5}{-7} = \frac{5}{7}$。

$7x+5y-6=0$ の傾きは $-\frac{7}{5}$。

傾きの積は $\frac{5}{7} \times (-\frac{7}{5}) = -1$ なので、垂直。

(4)

$6x-4y+3=0$ の傾きは $-\frac{6}{-4} = \frac{3}{2}$。

$9x-6y+4=0$ の傾きは $-\frac{9}{-6} = \frac{3}{2}$。

傾きが等しいので、平行。

3. **最終的な答え**

(1) 平行

(2) 垂直

(3) 垂直

(4) 平行

## 問題7

1. **問題の内容**

与えられた点と直線の距離を求める問題です。具体的には以下の2つの問題があります。

(1) 点(0, 0), 直線 $4x+3y-12=0$

(2) 点(2, 1), 直線 $x+2y-3=0$

2. **解き方の手順**

点 $(x_1, y_1)$ と直線 $ax+by+c=0$ の距離 $d$ は、以下の公式で求められます。

$d = \frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

各問題について、この公式を適用します。

**各問題の解答:**

(1)

点(0, 0), 直線 $4x+3y-12=0$ の場合、

$d = \frac{|4(0)+3(0)-12|}{\sqrt{4^2+3^2}} = \frac{|-12|}{\sqrt{16+9}} = \frac{12}{\sqrt{25}} = \frac{12}{5}$

(2)

点(2, 1), 直線 $x+2y-3=0$ の場合、

$d = \frac{|1(2)+2(1)-3|}{\sqrt{1^2+2^2}} = \frac{|2+2-3|}{\sqrt{1+4}} = \frac{|1|}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$

3. **最終的な答え**

(1) $\frac{12}{5}$

(2) $\frac{\sqrt{5}}{5}$