aとbは正の実数である。 2次関数 $y = x^2 + (2a-b)x + a^2 + 1$ のグラフをGとする。 (1) グラフGの頂点の座標を求める。 (2) グラフGが点(-1, 6)を通るとき、bの取りうる値の最大値を求め、そのときのaの値を求め、さらにグラフGが $y=x^2$ のグラフをどのように平行移動したものかを求める。

1. 問題の内容

aとbは正の実数である。

2次関数 $y = x^2 + (2a-b)x + a^2 + 1$ のグラフをGとする。

(1) グラフGの頂点の座標を求める。

(2) グラフGが点(-1, 6)を通るとき、bの取りうる値の最大値を求め、そのときのaの値を求め、さらにグラフGが $y=x^2$ のグラフをどのように平行移動したものかを求める。

2. 解き方の手順

(1) まず、2次関数を平方完成する。

$y = x^2 + (2a-b)x + a^2 + 1$

$y = (x + a - \frac{b}{2})^2 - (a - \frac{b}{2})^2 + a^2 + 1$

$y = (x + a - \frac{b}{2})^2 - (a^2 - ab + \frac{b^2}{4}) + a^2 + 1$

$y = (x + a - \frac{b}{2})^2 + ab - \frac{b^2}{4} + 1$

したがって、グラフGの頂点の座標は

$(-a + \frac{b}{2}, ab - \frac{b^2}{4} + 1)$

よって、ア: $\frac{b}{2}$, イ: $-\frac{b^2}{4}$

(2) グラフGが点(-1, 6)を通るので、

$6 = (-1)^2 + (2a-b)(-1) + a^2 + 1$

$6 = 1 - 2a + b + a^2 + 1$

$a^2 - 2a + b - 4 = 0$

$b = -a^2 + 2a + 4$

bは正の実数なので、$b > 0$

$-a^2 + 2a + 4 > 0$

$a^2 - 2a - 4 < 0$

$(a-1)^2 - 5 < 0$

$(a-1)^2 < 5$

$-\sqrt{5} < a-1 < \sqrt{5}$

$1-\sqrt{5} < a < 1+\sqrt{5}$

ここでbの最大値を求める。

$b = -a^2 + 2a + 4 = -(a-1)^2 + 5$

aは正の実数なので、$0 < a < 1 + \sqrt{5}$

bの最大値はa=1のとき $b = -1 + 2 + 4 = 5$

このとき $a=1$

したがって、bの取りうる値の最大値は5である。また、そのときのaの値は1である。

b=5, a=1 のとき、

$y = x^2 + (2-5)x + 1 + 1 = x^2 - 3x + 2$

$y = (x-\frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} + 2 = (x-\frac{3}{2})^2 - \frac{1}{4}$

$y = x^2$ のグラフをx軸方向に $\frac{3}{2}$, y軸方向に $-\frac{1}{4}$ だけ平行移動したものである。

3. 最終的な答え

(1) 頂点の座標は $(\frac{b}{2} - a, 1 + ab - \frac{b^2}{4})$

(2) bの取りうる値の最大値は 5, aの値は 1, x軸方向に $\frac{3}{2}$, y軸方向に $-\frac{1}{4}$